\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 86225

Re: Gooien met 2 dobbelstenen

Inderdaad bewerkelijker dan ik dacht. Is dit ook het geval voor het volgende probleem wat er wel een beetje op lijkt:

Je gooit steeds met 2 dobbelstenen. Hoeveel keer moet je gemiddeld gooien om in ieder geval 2 verschillende ogen (getallen) te krijgen. Als je geluk hebt, heb je maar één worp nodig (kans 30/36).

Uit simulaties komt een waarde van circa 1.1714 maar hoe bereken je dit exact.

Dirk
Ouder - donderdag 17 mei 2018

Antwoord

Net als bij het eerdere antwoord: bereken eerst de kans $P(X\le n)$. Hier is dat eenvoudig omdat $1-P(X\le n)$ de kans is dat je bij $n$ worpen altijd dezelfde waarde krijgt en die is $6\cdot\left(\frac1{36}\right)^n$ (voor elk aantal ogen $n$ keer die waarde dubbel gooien).
Dus $P(X\le n)=1- 6\cdot\left(\frac1{36}\right)^n$, en voor $n\ge2$ krijgt je dan
$$
P(X=n)=P(X\le n)-P(X\le n-1)=6\left(\left(\frac1{36}\right)^{n-1} - \left(\frac1{36}\right)^n\right) = \frac{35}6 \left(\frac1{36}\right)^{n-1}
$$
De verwachting is dus
$$
\frac{30}{36}+ \frac{35}6 \sum_{n=2}^\infty n\cdot\left(\frac1{36}\right)^{n-1}
$$
Met behulp van de formule
$$
\sum_{n=2}^\infty nx^{n-1} = \frac1{(1-x)^2}-1
$$
kun je die som uitrekenen: er komt $41/35$ uit.

Om dit soort dingen uit te rekenen moet je dus handig met oneindige sommen om kunnen gaan, en individuele kansen uit kunnen rekenen.

kphart
donderdag 17 mei 2018

©2001-2024 WisFaq