WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Getallen door optellen

Dit is een reactie op vraag 86216

Inderdaad een handige truc ! Alvast hiervoor bedankt

Maar om het getal 34 te bereiken door enkel de cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6 te hanteren kom ik er met die formule niet omdat het me zeer complex lijkt om te bepalen welke waarde ik van 2^n-1 dien af te trekken. Mocht ik de cijfers 1, 2, 3, ..., 31, 32, 33 hanteren dan zou dit inderdaad [2^n-1]-1 zijn. Maar als ik mij beperk tot de cijfers 1 tot en met 6 moet ik een waarde x aftrekken ([2^n-1-x)]. Maar hoe bepaal ik die waarde x ? Dat lijkt me echt onbegonnen werk.

Zo is bvb 34 = 6+6+6+6+6+4 vertaald naar 5 streepjes.
Anderzijds 34 = 26+1+1+1+2+3 is eveneens vertaald naar 5 streepjes maar deze mag ik niet meenemen aangezien ik 26 niet als term kan gebruiken.

Mijn vraag is dus of het nog doenbaar is om die waarde x te bepalen ?
Rudi
Rudi
Ouder - zondag 13 mei 2018

Antwoord

Er is een strategie om dit soort dingen te tellen maar die kan nogal wat boekhouden met zich meebrengen.

Stap 1.
Bepaal alle mogelijkheden om je getal, hier $34$, als som van de uitverkoren getallen te krijgen, zonder acht te slaan op de volgorde.

Dat kan systematisch door het product van de volgende zes factoren uit te werken:
$1+a+a^2+a^3+\cdots+a^{34}+\cdots$,
$1+b^2+b^4+b^6+\cdots+b^{34}+\cdots$,
$1+c^3+c^6+c^9+\cdots+c^{33}+\cdots$,
$1+d^4+d^8+d^{12}+\cdots+d^{32}+\cdots$,
$1+e^5+e^{10}+e^{15}+\cdots+c^{30}+\cdots$, en
$1+f^6+f^{12}+f^{18}+\cdots+f^{30}+\cdots$.
Verzamel alle termen $a^\alpha b^{2\beta} c^{3\gamma} d^{4\delta} e^{5\epsilon} f^{6\phi}$ met $\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta+5\epsilon+6\phi=34$. Elk product geeft een versomming van $34$ en zo krijg je ze allemaal.

Bijvoorbeeld $a^5b^{10}c^6d^4e^5f^6$ hoort bij $1+1+1+1+1+2+2+2+2+2+3+3+4+5+6$.

Stap 2.
Bij elke product $a^\alpha b^{2\beta} c^{3\gamma} d^{4\delta} e^{5\epsilon} f^{6\phi}$ tel je het aantal variaties; dat is
$$
\frac{n!}{\alpha!\beta!\gamma!\delta!\phi!}
$$waarbij $n=\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon+\phi$. Deze multinomiaalcoefficient telt het aantal plaatsingen van de $\alpha$ enen, $\beta$ tweeën, ..., $\phi$ zessen in de som.
Bij de factor hierboven is dat
$$
\frac{15!}{5!5!2!1!1!1!}
$$Stap 3.
Tel alle resultaten bij elkaar op.

Toevoeging: als de volgorde er niet toe doet vervang dan $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ en $f$ elk door $x$; na vermenigvuldiging moet je de coefficient van $x^{34}$ hebben.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 15 mei 2018