|
|
|
\require{AMSmath}
Goniometrie
Hallo,
Dit weekend lukt het me niet. Ik heb nog 2 vraagjes.
Stel a, b en g zijn de hoeken van een driehoek. Ik moet de volgende identiteiten bewijzen :
sin3a + sin 3b + sin 3g = -4 cos (3a/2) * cos (3b/2)* cos (3g/2)ik heb geprobeerd om het met de halveringsformule op te lossen maar zonder resultaat
sin4a +sin4b + sin 4g = -4sin2a* sin2b*sin2g
isabel
3de graad ASO - zondag 12 november 2017
Antwoord
Het kost enige vasthoudendheid maar het kan wel. Om te beginnen: omdat $3\alpha+3\beta+3\gamma=3\pi$ volgt $3\gamma=3\pi-(3\alpha+3\beta)$ en dus(!) $\sin3\gamma=\sin(3\alpha+3\beta)$ (ga na).
Nu kun je je linkerkant omschrijven tot
$$
\sin3\alpha+\sin3\beta+\sin(3\alpha+3\beta)
$$
en met gonioformules kun je daar
$$
\sin3\alpha\cdot(1+\cos3\beta)+\sin3\beta\cdot(1+\cos3\alpha)
$$
van maken. Nu kun je verdubbelings/halveringsformules gebruiken: $1+\cos x=2\cos^2\frac x2$ en $\sin x=2\sin\frac x2\cdot\cos\frac x2$. Dat brengt je tot
$$
4\cos\frac{3\alpha}2\cdot \cos\frac{3\beta}2 \cdot\sin\left(\frac{3\alpha}2+\frac{3\beta}2\right)
$$
Nu kun je de relatie tussen $\gamma$ en $\alpha+\beta$ nog een keer gebruiken om van die laatste sinus een cosinus te maken.
Wat de tweede opgave betreft, probeer het bovenstaande (met aanpassingen) toe te passen op de linkerkant.
kphart
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 12 november 2017
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
