WisFaq!

Goniometrie

Hallo,
Dit weekend lukt het me niet. Ik heb nog 2 vraagjes.
Stel a, b en g zijn de hoeken van een driehoek. Ik moet de volgende identiteiten bewijzen :

sin3a + sin 3b + sin 3g = -4 cos (3a/2) * cos (3b/2)* cos (3g/2)ik heb geprobeerd om het met de halveringsformule op te lossen maar zonder resultaat

sin4a +sin4b + sin 4g = -4sin2a* sin2b*sin2g

isabelle Castile
12-11-2017

Antwoord

Het kost enige vasthoudendheid maar het kan wel. Om te beginnen: omdat $3\alpha+3\beta+3\gamma=3\pi$ volgt $3\gamma=3\pi-(3\alpha+3\beta)$ en dus(!) $\sin3\gamma=\sin(3\alpha+3\beta)$ (ga na).
Nu kun je je linkerkant omschrijven tot
$$
\sin3\alpha+\sin3\beta+\sin(3\alpha+3\beta)
$$
en met gonioformules kun je daar
$$
\sin3\alpha\cdot(1+\cos3\beta)+\sin3\beta\cdot(1+\cos3\alpha)
$$
van maken. Nu kun je verdubbelings/halveringsformules gebruiken: $1+\cos x=2\cos^2\frac x2$ en $\sin x=2\sin\frac x2\cdot\cos\frac x2$. Dat brengt je tot
$$
4\cos\frac{3\alpha}2\cdot \cos\frac{3\beta}2 \cdot\sin\left(\frac{3\alpha}2+\frac{3\beta}2\right)
$$
Nu kun je de relatie tussen $\gamma$ en $\alpha+\beta$ nog een keer gebruiken om van die laatste sinus een cosinus te maken.

Wat de tweede opgave betreft, probeer het bovenstaande (met aanpassingen) toe te passen op de linkerkant.

kphart
12-11-2017