De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

   \require{AMSmath} Printen

Integratie door breuksplitsing

Na enig intensief onderzoek op het internet (en deze site) heb ik moeite met de uitleg van mijn wiskundeboek.

Het hoofdstuk dat mijn wiskundeboek nu behandeld is 'integratie door middel van breuksplitsing'. Nadat er enige opgaven voorbij zijn gekomen, waarbij ik de noemer van een integraal moest ontbinden in factoren, stuit ik nu op het probleem dat de noemer van de volgende integraal niet te ontbinden is:

$\int{}$ x/x2 + 4x + 5

Het boek zegt dat deze integraal niet met breuksplitsing is op te lossen (dat maakt het moeilijk om extra informatie op te zoeken).

Het boek zegt: Om de integraal te bepalen moeten we de integraal schrijven als een som van twee integralen, die wel te berekenen zijn:

$\int{}$2x + 4/x2 + 4x + 5 en $\int{}$1/x2 + 4x + 5

Het probleem is dat ik niet weet hoe ze aan die twee integralen komen. Het valt mij op dat de teller van de eerste integraal de afgeleide is van de noemer. Echter wordt daarover in het boek niet over gesproken.

Samenvattend wil ik graag meer weten over het 'breuksplitsen' van deze integraal.

Alvast zeer bedankt

Erwin
Student hbo - woensdag 26 juli 2017

Antwoord

Hallo Erwin,

Het klopt dat ernaar wordt gestreefd om de teller zodanig op te splitsen dat de afgeleide van de noemer verschijnt. Ofwel: we proberen de teller x te schrijven als:

a·n' + b

In dit geval:

a(2x+4) + b = x

Dan vinden we: a=1/2 en b=-2

Hiermee kunnen we de te integreren functie splitsen:

x/(x2+4x+5) = 1/2·(2x+4)/(x2+4x+5) - 2·1/(x2+4x+5)

ofwel:

x/(x2+4x+5) = 1/2·(2x+4)/(x2+4x+5) - 2·1/((x+2)2+1)

De opgave wordt dan:
Bereken:

1/2·$\int{}$(2x+4)/(x2+4x+5)dx -2·$\int{}$1/((x+2)2+1)dx

Beide integralen zijn op te lossen met behulp van de substitutiemethode. Voor de eerste integraal: stel u=x2+4x+5 en voor de tweede integraal: stel v=x+2

Wie is wie?
 Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 26 juli 2017
 Re: Integratie door breuksplitsing 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3