Integratie door breuksplitsing
Na enig intensief onderzoek op het internet (en deze site) heb ik moeite met de uitleg van mijn wiskundeboek.
Het hoofdstuk dat mijn wiskundeboek nu behandeld is 'integratie door middel van breuksplitsing'. Nadat er enige opgaven voorbij zijn gekomen, waarbij ik de noemer van een integraal moest ontbinden in factoren, stuit ik nu op het probleem dat de noemer van de volgende integraal niet te ontbinden is:
$\int{}$ x/x2 + 4x + 5
Het boek zegt dat deze integraal niet met breuksplitsing is op te lossen (dat maakt het moeilijk om extra informatie op te zoeken).
Het boek zegt: Om de integraal te bepalen moeten we de integraal schrijven als een som van twee integralen, die wel te berekenen zijn:
$\int{}$2x + 4/x2 + 4x + 5 en $\int{}$1/x2 + 4x + 5
Het probleem is dat ik niet weet hoe ze aan die twee integralen komen. Het valt mij op dat de teller van de eerste integraal de afgeleide is van de noemer. Echter wordt daarover in het boek niet over gesproken.
Samenvattend wil ik graag meer weten over het 'breuksplitsen' van deze integraal.
Alvast zeer bedankt
Erwin
Student hbo - woensdag 26 juli 2017
Antwoord
Hallo Erwin,
Het klopt dat ernaar wordt gestreefd om de teller zodanig op te splitsen dat de afgeleide van de noemer verschijnt. Ofwel: we proberen de teller x te schrijven als:
a·n' + b
In dit geval:
a(2x+4) + b = x
Dan vinden we: a=1/2 en b=-2
Hiermee kunnen we de te integreren functie splitsen:
x/(x2+4x+5) = 1/2·(2x+4)/(x2+4x+5) - 2·1/(x2+4x+5)
ofwel:
x/(x2+4x+5) = 1/2·(2x+4)/(x2+4x+5) - 2·1/((x+2)2+1)
De opgave wordt dan:
Bereken:
1/2·$\int{}$(2x+4)/(x2+4x+5)dx -2·$\int{}$1/((x+2)2+1)dx
Beide integralen zijn op te lossen met behulp van de substitutiemethode. Voor de eerste integraal: stel u=x2+4x+5 en voor de tweede integraal: stel v=x+2
woensdag 26 juli 2017
©2001-2024 WisFaq
|
Re: Integratie door breuksplitsing