|
|
|
\require{AMSmath}
Priemgetallen en wortels
Is de wortel van elk priemgetal boven de 4 irrationaal?
Jasper
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - dinsdag 7 februari 2017
Antwoord
Beste Jasper,
Ja, inderdaad de (vierkants-)wortel van élk priemgetal (dus ook $\sqrt 2$ en $\sqrt 3$) is irrationaal. Er geldt zelfs nog iets sterkers: als een positief geheel getal $m$ niet een kwadraat is van een geheel getal, dan is zijn wortel irrationaal.
Dit kun je bijvoorbeeld op de volgende manier bewijzen:
We nemen een positief geheel getal $m$ dat geen kwadraat is van een positief geheel getal.
Stel dat $\sqrt m$ rationaal is. Dan kunnen we het schrijven als breuk en wel zo dat de breuk zo ver mogelijk vereenvoudigd is.
Daarmee hebben we positieve gehele getallen $a$ en $b$ met een grootste gemene deler van 1, zodat $\sqrt m = \frac ab$.
Kwadrateren geeft $m = \frac{a^2}{b^2}$.
En nu komt het mooie: de grootste gemene deler van $a^2$ en $b^2$ is nog steeds gelijk aan 1. Dus rechts staat een zo ver mogelijk vereenvoudigde breuk en links staat een positief geheel getal. Dat is alleen met elkaar in overeenstemming als $b^2=1$ en dus als $m= a^2$. Maar dan is $m$ toch een kwadraat van een positief geheel getal. En we hebben een tegenspraak.
Dat betekent dat onze aanname dat $\sqrt{m}$ rationaal is geen stand kan houden.
En het bewijs uit het ongerijmde is rond!
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 7 februari 2017
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
