Priemgetallen en wortels

Is de wortel van elk priemgetal boven de 4 irrationaal?

Jasper
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - dinsdag 7 februari 2017

Antwoord

Beste Jasper,

Ja, inderdaad de (vierkants-)wortel van élk priemgetal (dus ook $\sqrt 2$ en $\sqrt 3$) is irrationaal. Er geldt zelfs nog iets sterkers: als een positief geheel getal $m$ niet een kwadraat is van een geheel getal, dan is zijn wortel irrationaal.

Dit kun je bijvoorbeeld op de volgende manier bewijzen:

We nemen een positief geheel getal $m$ dat geen kwadraat is van een positief geheel getal.

Stel dat $\sqrt m$ rationaal is. Dan kunnen we het schrijven als breuk en wel zo dat de breuk zo ver mogelijk vereenvoudigd is.

Daarmee hebben we positieve gehele getallen $a$ en $b$ met een grootste gemene deler van 1, zodat $\sqrt m = \frac ab$.

Kwadrateren geeft $m = \frac{a^2}{b^2}$.

En nu komt het mooie: de grootste gemene deler van $a^2$ en $b^2$ is nog steeds gelijk aan 1. Dus rechts staat een zo ver mogelijk vereenvoudigde breuk en links staat een positief geheel getal. Dat is alleen met elkaar in overeenstemming als $b^2=1$ en dus als $m= a^2$. Maar dan is $m$ toch een kwadraat van een positief geheel getal. En we hebben een tegenspraak.

Dat betekent dat onze aanname dat $\sqrt{m}$ rationaal is geen stand kan houden.

En het bewijs uit het ongerijmde is rond!

dinsdag 7 februari 2017

©2001-2024 WisFaq