WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Raaklijn aan hyperbool is bissectrice brandpuntrechten

Hoe kan ik aantonen dat voor een willekeurig punt P op de hyperbool met vergelijking (x²/a²) - (y²/b²) = 1, de raaklijn aan de hyperbool in dat punt P, ook de bissectrice is van de hoek gevormd door de 2 rechten vanuit P naar elk van de brandpunten F2 (-c,0) en F1 (c, 0).

Jani V
3de graad ASO - zondag 4 december 2016

Antwoord

Dag Jani,

Staat dat bewijs niet in je leerboek?
Hier volgt het bewijs dat de bissectrice tevens raaklijn is (het 'omgekeerde' van wat jij vraagt).

Kies P op de rechter tak van de hyperbool (dat stoort het bewijs verder niet).
Maak PQ = PF₁ met Q op PF₂.
Dan is: F₂Q = PF₂ - PQ = PF₂ - PF₁ = (definitie hyperbool) 2a
De lijn l is de bissectrice van hoek F₁PF₂.
Kies R (willekeurig) op l, niet samenvallend met P.
Dan is RF₁ = RQ (congruente driehoeken; ZHZ).
In driehoek F₂RQ is RF₂ - RQ $<$ F₂Q (driehoeksongelijkheid).
Of: RF₂ - RF₁ $<$ F₂Q
Of: RF₂ - RF₁ $<$ 2a
Dan blijkt dat R niet op de hyperbool ligt (erbuiten). En dat is dus het geval met alle punten van de lijn l (behalve P).
Dus l, de bissectrice, is raaklijn aan de hyperbool.

Via onderstaande link vind je een handgeschreven analytisch bewijs.
Zie Een ander bewijs van de eigenschap

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 4 december 2016