Raaklijn aan hyperbool is bissectrice brandpuntrechten

Hoe kan ik aantonen dat voor een willekeurig punt P op de hyperbool met vergelijking (x²/a²) - (y²/b²) = 1, de raaklijn aan de hyperbool in dat punt P, ook de bissectrice is van de hoek gevormd door de 2 rechten vanuit P naar elk van de brandpunten F2 (-c,0) en F1 (c, 0).

Jani V
3de graad ASO - zondag 4 december 2016

Antwoord

Dag Jani,

Staat dat bewijs niet in je leerboek?
Hier volgt het bewijs dat de bissectrice tevens raaklijn is (het 'omgekeerde' van wat jij vraagt).



Kies P op de rechter tak van de hyperbool (dat stoort het bewijs verder niet).
Maak PQ = PF₁ met Q op PF₂.
Dan is: F₂Q = PF₂ - PQ = PF₂ - PF₁ = (definitie hyperbool) 2a
De lijn l is de bissectrice van hoek F₁PF₂.
Kies R (willekeurig) op l, niet samenvallend met P.
Dan is RF₁ = RQ (congruente driehoeken; ZHZ).
In driehoek F₂RQ is RF₂ - RQ $<$ F₂Q (driehoeksongelijkheid).
Of: RF₂ - RF₁ $<$ F₂Q
Of: RF₂ - RF₁ $<$ 2a
Dan blijkt dat R niet op de hyperbool ligt (erbuiten). En dat is dus het geval met alle punten van de lijn l (behalve P).
Dus l, de bissectrice, is raaklijn aan de hyperbool.

Via onderstaande link vind je een handgeschreven analytisch bewijs.

Zie Een ander bewijs van de eigenschap

zondag 4 december 2016

©2001-2024 WisFaq