WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Mastermind

Er zijn 8 verschillende kleuren. Ik heb gesteld dat de 4 te raden kleuren, allemaal verschillend moeten zijn. Bijvoorbeeld: Geel-Blauw-Rood-Wit

De kans dat je de eerste keer alles goed hebt is 1/1680.

Tijdens het raden kan je een kleur helemaal fout hebben, helemaal goed, of wel goed maar niet op de goede plaats.
Ik wil de volgende kansen weten maar heb geen idee hoe ik die moet berekenen.

4 kleuren goed, maar 0 op goede plaats
4 kleuren goed, maar 1 op goede plaats
4 kleuren goed, maar 2 op goede plaats
4 kleuren goed, maar 3 op goede plaats
4 kleuren goed, maar 4 op goede plaats = 4 boven 4 .1/8.1/7.1/6.1/5
= 1/1680

3 kleuren goed, maar 0 op goede plaats
3 kleuren goed, maar 1 op goede plaats
3 kleuren goed, maar 2 op goede plaats
3 kleuren goed, maar 3 op goede plaats

2 kleuren goed, maar 0 op goede plaats
2 kleuren goed, maar 1 op goede plaats
2 kleuren goed, maar 2 op goede plaats

1 kleur goed, maar 0 op goede plaats
1 kleur goed, en 1 op goede plaats

0 kleuren goed, 0 op goede plaats (is dat hetzelfde als de kans op allemaal goed???)

Kunnen jullie mij helpen?? Groetjes Marjolein
Marjol
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 4 maart 2003

Antwoord

Het is wat handiger om vanuit combinaties te denken:
In het totaal zijn er (8 boven 4)= 70 combinaties.
Elk van die 70 combinaties is weer onder te verdelen in 24 volgorden (zo kom je weer aan je 1680).
Bereken eerst hoeveel gunstige combinaties er zijn en dan hoeveel van die 24 volgorden opleveren wat jij wil hebben.

4 kleuren goed: 1 combinatie

24 volgorden waarvan 1 met alle vier de kleuren op de goede plek. Kans is dan dus 1/(70·24)

4 kleuren goed, maar 3 op goede plaats .... Ha,ha,ha dan staat toch automatisch ook de vierde op de goede plaats ! (valt dus af)

4 kleuren goed, maar 2 op goede plaats .... Dan moet je uitgaande van 4 kleuren allemaal op de goede plaats een tweetal gaan omwisselen. Dat kan op (4 boven 2) manieren.
Dus 6 mogelijkheden: Kans 6/(70·24)

4 kleuren goed, maar 1 op goede plaats
Stel de eerste kleur is goed, dan moeten de drie andere kleuren zo neergezet worden dat ze allemaal fout staan. Dat gaat op 2 manieren (kun je zo nagaan door even uit te schrijven). In het totaal dus 4·2=8 mogelijkheden.
kans: 8/(70·24)

4 kleuren goed, maar 0 op goede plaats
Het overige aantal mogelijkheden van de 24 dus 9
Kans 9/(70·24)

Nu het moelijkere werk.

3 goed (uit 4 mogelijke) en dus 1 fout (uit 4 mogelijke).
Levert dus (4 boven 3)·(4 boven 1) = 16 goede combinaties.
Nu uitsplitsen naar die 24 mogelijke volgorden.
Concreet: De juiste kleuren zijn ABCD en jij hebt ABCE. Ga vanuit deze concrete sitiuatie redeneren

3 kleuren goed, maar 3 op goede plaats
is dus 1 mogelijkheid.
Totale kans (1·16)/(70·24)

3 kleuren goed, maar 2 op goede plaats
2 uit 3 kiezen voor de goede plek (voor de andere twee is dan slechts een mogelijkheid) levert 3 mogelijkheden.
Totale kans (3·16)/(70·24)

3 kleuren goed, maar 1 op goede plaats
Is wat lastiger. Wellicht moet je de 24 mogelijkheden uitschrijven en gewoon tellen en afstrepen (ik geen andere manier vinden) volgens mij levert dat 9 op.
Totale kans (9·16)/(70·24)

3 kleuren goed, maar 0 op goede plaats
Dat zijn er dus 11 overige mogelijkheden. Gewoon tellen, volgens mij is dit niet echt systematisch op te lossen.
Totale kans (11·16)/(70·24)

Bekijk nu zelf:

2 kleuren goed, maar 0 op goede plaats
2 kleuren goed, maar 1 op goede plaats
2 kleuren goed, maar 2 op goede plaats

1 kleur goed, maar 0 op goede plaats
1 kleur goed, en 1 op goede plaats

0 kleuren goed, 0 op goede plaats (is dat hetzelfde als de kans op allemaal goed???)

Ligt eraan hoe je het bekijkt want ze mogen willekeurig staan, de uikomst zal 1/70 zijn.

Kom je er verder niet uit dan horen we het wel weer.

Met vriendelijke groet

JaDeX

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 5 maart 2003

Re: Mastermind