WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Harmonische trilling van een trillende veer

De trilling van een trillende veer is een voorbeeld van een sinustrilling of een harmonische trilling.

De uitwijking t.o.v. de evenwichtstoestand wordt weergegeven door y=A·sin(W·t+Q) met (A$>$0,W$>$0)

y=uitwijking t.o.v. evenwichtstoestand
A=maximale uitwijking
W=hoekfrequentie van de trilling
Q=fase of hoekfase

Voorbeeld:
y=5cm·sin(2s^-1·t+(p/2))

Wat betekenen de onderstaande 2 begrippen concreet? Hoe zijn deze zichtbaar op de grafiek?

p/2 = fase of fasehoek
2s^-1 = hoekfrequentie

Jasmin
3de graad ASO - donderdag 23 april 2015

Antwoord

Hallo Jasmine,

Je stuurde dit plaatje mee:

Ik vind deze notatie erg verwarrend: midden in de formule worden de eenheden vermeld, dit is niet gebruikelijk. De formule voor een harmonische trilling wordt vaak als volgt genoteerd:

We vermelden dan apart wat de eenheden zijn, bijvoorbeeld:

met y in cm en t in seconden

De betekenis van de parameters is:
w (Griekse letter omega, niet W): de hoekfrequentie in radialen per seconde. Deze bepaalt hoe snel de trilling verloopt. Wannneer w=1 radiaal per seconde, dan doorloopt de sinusfunctie één periode wanneer de tijd t 2p seconden groter wordt. Immers: per 1 seconde wordt het argument van de sinus 2p groter, dat komt overeen met precies één periode.
Wanneer w=2 radialen per seconde, dan hoeft de tijd t maar 1p toe te nemen om het argument van de sinus 2p groter te maken. De trilling verloopt dan 2 keer zo snel.
Dus: hoe groter de hoekfrequentie w, hoe sneller de trilling verloopt.
j₀ (Griekse letter phi, niet Q): de (begin)fase. Dit bepaalt de startpositie van het trillende voorwerp. Wanneer j₀=0, dan is bij t=0 de uitwijking y=a.sin(0)=0, ofwel: wanneer de tijd start, dan is de uitwijking y nul: het trillende voorwerp is in de middenstand (evenwichtsstand). Maar als bijvoorbeeld j₀=¹/₂p, en we vullen t=0 in de formule in, dan vinden we:
y(0) = a·sin(¹/₂p) = a·1 = a
ofwel: wanneer de tijd start, is het net alsof de trilling al een tijdje bezig is. Het voorwerp bevindt zich al in de uiterste stand, alsof een kwart periode al verlopen is. We noemen dit: de fase van de trilling is ¹/₄.
Jouw voorbeeld wordt dan:

In deze vorm zijn de waarden w=2 rad/s en j₀=p/2 moeilijk in de grafiek te zien. Handiger is om de formule zo te schrijven:

We vergelijken deze formule met de standaard sinusfunctie:

y = sin(t)

Je ziet dat jouw voorbeeld ontstaat uit de standaardfunctie door:
vermenigvuldigen met 5. Dit betekent: de uitwijking wordt 5 keer zo groot. In plaats van uitwijking 1 (van de standaardfunctie) wordt de uitwijking 5.
de tijd t wordt vervangen door 2t. Dit betekent: de trilling wordt 2 keer zo snel. In plaats van een periodetijd 2p (van de standaardfunctie) wordt de periode p seconden. In de grafiek zie je dat je steeds na p seconden op hetzelfde punt van de trilling uitkomt.
bij de tijd t wordt ¹/₄p opgeteld: t wordt (t+¹/₄p). Dit betekent: de grafiek schuift ¹/₄p naar links. Het beginpunt van de 'gewone' sinusgrafiek ligt nu bij t=-¹/₄p, het is alsof de trilling te vroeg is gestart.
Het is een heel verhaal geworden, hopelijk helpt dit. heb je toch nog vragen, reageer dan gerust weer op dit antwoord.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 23 april 2015

Re: Harmonische trilling van een trillende veer