WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integreren

Ik moet de integraal oplossen van1/(1-(sinx)⁴)
Ik heb al van alles geprobeerd maar ik kom er niet uit
Kunnen jullie mij helpen?
Integreren

Jochen
3de graad ASO - woensdag 11 maart 2015

Antwoord

Beste Jochen,

Met behulp van de t-formules kan je hier een rationale functie van maken, maar dat zal ook geen pretje zijn om te integreren. Wat handig herschrijven kan het werk al aanzienlijk vereenvoudigen:
$$ \frac{1}{1-\sin^4 x} = \frac{1}{(1-\sin^2 x)(1+\sin^2 x)} = \frac{1}{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}$$Geïnspireerd door de noemer, kan je de '1' in de teller vervangen door 'cos²x+sin²x'. In de noemer komt ook een factor 1+sin²x voor, vul de teller aan met +1-1:
$$ \frac{1}{1-\sin^4 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x + 1 - 1}{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}$$Splits de breuk nu handig in drie:
$$\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}+\frac{\sin^2 x + 1}{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}-\frac{1}{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}$$Schrap gemeenschappelijke factoren en merk op dat de noemer van de laatste breuk gelijk is aan de noemer van de oorspronkelijke opgave:
$$\frac{1}{1+\sin^2 x}+\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{1-\sin^4 x}$$De integraal van die laatste breuk is dezelfde als de oospronkelijke integraal, breng deze naar het andere lid:
$$\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int \frac{1}{1-\sin^4 x} \,\mbox{d}x & = &
\displaystyle \int \frac{1}{1+\sin^2 x}\,\mbox{d}x+\int\frac{1}{\cos^2 x}\,\mbox{d}x-\int\frac{1}{1-\sin^4 x}\,\mbox{d}x \\
& \Leftrightarrow & \\
\displaystyle 2 \int \frac{1}{1-\sin^4 x} \,\mbox{d}x & = &
\displaystyle \int \frac{1}{1+\sin^2 x}\,\mbox{d}x+\int\frac{1}{\cos^2 x}\,\mbox{d}x\\
& \Leftrightarrow & \\
\displaystyle \int \frac{1}{1-\sin^4 x} \,\mbox{d}x & = &
\displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+\sin^2 x}\,\mbox{d}x+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\cos^2 x}\,\mbox{d}x
\end{array}$$Die tweede integraal is een basisintegraal en geeft $\tan x$. De eerste integraal kan je met t-formules rationaal maken, of je zou het weer handiger kunnen proberen aan te pakken. Kan je zo verder?

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 11 maart 2015