WisFaq!

Integreren

Ik moet de integraal oplossen van1/(1-(sinx)⁴)
Ik heb al van alles geprobeerd maar ik kom er niet uit
Kunnen jullie mij helpen?

• Integreren

Jochen
11-3-2015

Antwoord

Beste Jochen,

Met behulp van de t-formules kan je hier een rationale functie van maken, maar dat zal ook geen pretje zijn om te integreren. Wat handig herschrijven kan het werk al aanzienlijk vereenvoudigen:
$$ \frac{1}{1-\sin^4 x} = \frac{1}{(1-\sin^2 x)(1+\sin^2 x)} = \frac{1}{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}$$Geïnspireerd door de noemer, kan je de '1' in de teller vervangen door 'cos²x+sin²x'. In de noemer komt ook een factor 1+sin²x voor, vul de teller aan met +1-1:
$$ \frac{1}{1-\sin^4 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x + 1 - 1}{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}$$Splits de breuk nu handig in drie:
$$\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}+\frac{\sin^2 x + 1}{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}-\frac{1}{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}$$Schrap gemeenschappelijke factoren en merk op dat de noemer van de laatste breuk gelijk is aan de noemer van de oorspronkelijke opgave:
$$\frac{1}{1+\sin^2 x}+\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{1-\sin^4 x}$$De integraal van die laatste breuk is dezelfde als de oospronkelijke integraal, breng deze naar het andere lid:
$$\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int \frac{1}{1-\sin^4 x} \,\mbox{d}x & = &
\displaystyle \int \frac{1}{1+\sin^2 x}\,\mbox{d}x+\int\frac{1}{\cos^2 x}\,\mbox{d}x-\int\frac{1}{1-\sin^4 x}\,\mbox{d}x \\
& \Leftrightarrow & \\
\displaystyle 2 \int \frac{1}{1-\sin^4 x} \,\mbox{d}x & = &
\displaystyle \int \frac{1}{1+\sin^2 x}\,\mbox{d}x+\int\frac{1}{\cos^2 x}\,\mbox{d}x\\
& \Leftrightarrow & \\
\displaystyle \int \frac{1}{1-\sin^4 x} \,\mbox{d}x & = &
\displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+\sin^2 x}\,\mbox{d}x+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\cos^2 x}\,\mbox{d}x
\end{array}$$Die tweede integraal is een basisintegraal en geeft $\tan x$. De eerste integraal kan je met t-formules rationaal maken, of je zou het weer handiger kunnen proberen aan te pakken. Kan je zo verder?

mvg,
Tom

td
11-3-2015