WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oplossingen van een diophantische vergelijking

Gegeven is een diophantische vergelijking van de
vorm a.x + b.y = c, waarbij a, b en c gegeven gehele getallen zijn en waarbij x en y gehele variabelen voorstellen. De oplossingsverzameling
stellen we voor als V . Wat kan je dan met
zekerheid zeggen over #V ?

- #V=0
- #V=1
- #V=+¥
- #V is overaftelbaar
- geen van vorige

Het antwoord is geen van vorige...

Ik snap echter niet goed waarom, je zal steeds een oplossingsverzameling krijgen van de vorm V={x=opl1+m1*k, y=opl2+m2*k} (k een element van de gehele getallen).

In deze verzameling zitten toch oneindig veel elementen (k kan om het even welk getal zijn), dus is #V=¥ en dus ook overaftelbaar? Waar zit ik fout?
Dries
Student universiteit België - vrijdag 17 januari 2014

Antwoord

Je kunt geen van de vorige met zekerheid zeggen; er zijn diophantische vergelijkingen zonder oplossingen (dus mogelijkheden 2, 3 en 4 zijn niet zeker) en ook met oplossingen (dus mogelijkheid 1 is ook niet zeker).
Wat je wel zeker kunt zeggen is dat $V$ ten hoogste aftelbaar is want de oplossingen moeten paren gehele getallen zijn en daar zijn er maar aftelbaar veel van.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 17 januari 2014