WisFaq!

Oplossingen van een diophantische vergelijking

Gegeven is een diophantische vergelijking van de
vorm a.x + b.y = c, waarbij a, b en c gegeven gehele getallen zijn en waarbij x en y gehele variabelen voorstellen. De oplossingsverzameling
stellen we voor als V . Wat kan je dan met
zekerheid zeggen over #V ?

- #V=0
- #V=1
- #V=+¥
- #V is overaftelbaar
- geen van vorige

Het antwoord is geen van vorige...

Ik snap echter niet goed waarom, je zal steeds een oplossingsverzameling krijgen van de vorm V={x=opl1+m1*k, y=opl2+m2*k} (k een element van de gehele getallen).

In deze verzameling zitten toch oneindig veel elementen (k kan om het even welk getal zijn), dus is #V=¥ en dus ook overaftelbaar? Waar zit ik fout?

Dries
17-1-2014

Antwoord

Je kunt geen van de vorige met zekerheid zeggen; er zijn diophantische vergelijkingen zonder oplossingen (dus mogelijkheden 2, 3 en 4 zijn niet zeker) en ook met oplossingen (dus mogelijkheid 1 is ook niet zeker).
Wat je wel zeker kunt zeggen is dat $V$ ten hoogste aftelbaar is want de oplossingen moeten paren gehele getallen zijn en daar zijn er maar aftelbaar veel van.

kphart
17-1-2014