WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Re: Re: Re: Re: Re: Verloop goniometrische functie

Dit is een reactie op vraag 71352

Rhah nu zit ik nog altijd vast bij het zoeken van de nulpunten van de functie y=cosx+2sin(2x)+1 .. :(
Claire
3de graad ASO - maandag 11 november 2013

Antwoord

Hoewel ik je in het laatste antwoord dat ik je gisteren gaf al liet zien hoe het eventueel kan, heb ik niet het gevoel dat dit de bedoeling kan zijn.
Daar gaan we, maar dan wel voor de laatste keer!
Begin met te schrijven cos(x) + 1 = 4sin(x)cos(x) en kwadrateer de beide leden. Dat levert op: cos²(x) + 2cos(x) + 1 = 16sin²(x)cos²(x).

Vervang rechts nu sin²(x) door 1 - cos²(x).
Noem voor het gemak cos(x) = c, en je krijgt
c² + 2c + 1 = 16(1 - c²).c²
Na uitwerken leidt dit tot 16c⁴ - 15c² + 2c + 1 = 0

Aan deze vierdegraads vergelijking voldoet c = -1 (vul maar in) en dat betekent dat je het rechterlid van die vierdegraads vergelijking kunt schrijven als (c + 1)(16c³ - 16c² + c + 1) = 0

In ieder geval heb je dan c = -1 ofwel cos(x) = -1 waarvan je de oplossingen al eerder hebt gevonden.
Het probleem is nu om 16c³ - 16c² + c + 1 = 0 op te lossen.

Ook dat is mogelijk met de zogeheten formule van Cardano, maar het voert veel te ver om die er nu ook nog bij te gaan halen.
Overigens hoef je alleen maar eventuele oplossingen te vinden die tussen -1 en 1 liggen, want c = cos(x) ligt altijd tussen die twee grenzen.

De derdegraadsvergelijking 16c³ - 16c² + c + 1 = 0 heeft drie oplossingen die je maar moet benaderen met de GR.
Het zijn c = -0,203 en c = 0.368 en c = 0.836
Ten slotte los je dan op cos(x) = -0,203 enz waarmee je de rest van de nulpunten gevonden hebt.

Groeten aan Lorrie, Morrie en Lise

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 11 november 2013