|
|
|
\require{AMSmath}
Uniform convergent
De opdracht luidt: Laat voor elke nÎ \{0}, ¦n: ® gegeven zijn door ¦n(x)=(n-cos(nx))/(3n-cos2(nx). Laat zien dat ¦n uniform convergeert. Bereken vervolgens limn®¥òp0¦n(x)dx.
Nu weet ik wat uniforme convergentie inhoudt, maar heb ik geen idee hoe ik moet beginnen om dit probleem op te lossen. Als u kan helpen, heel graag! Alvast bedankt.
Mathil
Student universiteit - zaterdag 13 juli 2013
Antwoord
Ik zou eerst de puntsgewijze limiet, $f$, berekenen en daarna laten zien dat de rij (zelfs) uniform naar $f$ convergeert.
Bij vaste $x$ geldt $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\frac13$ (dat reken je zo uit).
Om uniforme convergentie vast te stellen moet je $|f_n(x)-\frac13|$ uitwerken en afschatten; als je dat goed doet zul je zien dat $|f_n(x)-\frac13|\le\frac4{6n}$, dat is onafhankelijk van $x$ en daarmee kun je uniforme convergentie bewijzen.
Tenslotte: bij uniforme convergentie mag je limiet en integraal omwisselen.
kphart
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 13 juli 2013
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
