WisFaq!

Uniform convergent

De opdracht luidt: Laat voor elke nÎ\{0}, ¦_n:® gegeven zijn door ¦_n(x)=(n-cos(nx))/(3n-cos²(nx). Laat zien dat ¦_n uniform convergeert. Bereken vervolgens lim_n®¥ò^p₀¦_n(x)dx.
Nu weet ik wat uniforme convergentie inhoudt, maar heb ik geen idee hoe ik moet beginnen om dit probleem op te lossen. Als u kan helpen, heel graag! Alvast bedankt.

Mathilde
13-7-2013

Antwoord

Ik zou eerst de puntsgewijze limiet, $f$, berekenen en daarna laten zien dat de rij (zelfs) uniform naar $f$ convergeert.
Bij vaste $x$ geldt $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\frac13$ (dat reken je zo uit).
Om uniforme convergentie vast te stellen moet je $|f_n(x)-\frac13|$ uitwerken en afschatten; als je dat goed doet zul je zien dat $|f_n(x)-\frac13|\le\frac4{6n}$, dat is onafhankelijk van $x$ en daarmee kun je uniforme convergentie bewijzen.
Tenslotte: bij uniforme convergentie mag je limiet en integraal omwisselen.

kphart
13-7-2013