WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Nestwortel

als a1=q en a2=(q+pq) en a3=(q+p(q+p(q))),

wat is dan de recurrente betrekking die an+1 uitdrukt in an?
bestaat er ook een a0?
en wat is de limiet van deze recurrente betrekking?
heeft deze rij ook betekenis als p,q0?

mvg
Wouter
wouter
Student universiteit - woensdag 29 januari 2003

Antwoord

Hoi,

Deze vraag heeft wat weg van recursieve rijen...

Je ziet onmiddelijk dat a_n+1=(q+p.a_n) voor n>1 en a₁=q.

Als er een a₀ bestaat, dan moet gelden dat a₁=q=(q+p.a₀) en dus dat p.a₀. Voor p=0, is elke waarde van a₀ een goede waarde, voor p<>0, is enkel a₀=0 mogelijk.

Als er een limiet a bestaat, dan moet gelden: a=(q+p.a). We weten dus al dat a0 moet zijn en dat a²-p.a-q=0. Zodat a=(p+(p²+4q))/2 of a=(p-(p²+4q))/2.

Voor q<0, is a₁ niet reëel. Voor q0, is enkel p+(p²+4q))/20. Deze limiet bestaat ook omdat de discriminant dan 0 is.

Voor q<0 heeft de rij geen reële betekenis.

Voor p0 zijn alle grondtallen positief en bestaat de limiet.
Voor p<0, moeten we onderzoeken onder welke voorwaarden q+p.a_n0 voor alle n>1, zodat a_n bestaat. Voor n=2 vinden we een voorwaarde dat p-q. Dit is ook een voldoende voorwaarde opdat het gevraagde zou gelden voor alle n>2. Je kan narekenen na dat uit a_nq volgt dat q+p.a_n0 en a_n+1q. Per inductie is het gestelde daarmee bewezen.

Groetjes,
Johan

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 29 januari 2003