WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Homomorfismen

Hallo wisfaq,

Ik heb twee vragen.
1)Ik ben bezig met het bepalen van het aantal elementen in Hom(Dn,C*) voor n>=1.
Ik heb het volgende:
#Hom(Dn,C*)=#Hom(V4,C*) waarbij f(ab)=f(a)f(b) geldt.
V4={1,a,b,ab} waarbij a,b en ab van orde 2.
f(1)=1
f(a^2)=f(1)=1 dus f(a)=1 of f(a)=-1 (2keuzes)
f(b^2)=f(1)=1 dus f(b)=1 of f(b)=-1 (2 keuzes)
f(ab)=1 of f(ab)=-1. (2 keuzes)
Maar hoe kan ik nu het aantal homomorfismen vinden? Is dat 1*2*2*2=8?
2)Als f:G->G'een homomorfisme is en N' een normaldeler, laat dan zien dat een surjectief homomorfisme f een isomorfisme G'N->G'/N'induceert.Hoe moet ik dit aanpakken met de isomorfisme stelling?
Roos
Student universiteit - dinsdag 21 mei 2013

Antwoord

Ik betwijfel dat $\#\mathrm{Hom}(D_n,\mathbb{C}^*)=\#\mathrm{Hom}(V_4,\mathbb{C}^*)$ voor alle $n$.
Je bepaling van $\#\mathrm{Hom}(V_4,\mathbb{C}^*)$ is op de goede weg, behalve dat na de keuze van $f(a)$ en $f(b)$ de waarde $f(ab)$ natuurlijk vastligt. Het antwoord is dus $4$.
Voor $D_n$: je hebt twee generatoren, een rotatie en een spiegeling; de rotatie heeft $n$ mogelijke beelden (de oplossingen van $z^n=1$) en de spiegeling heeft er twee.
Je tweede vraag is me niet helemaal duidelijk: waar is $N'$ een normaaldeler van; wat is $N$; en wat betekent $G'N$?

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 21 mei 2013

Re: Homomorfismen