Ik heb twee vragen. 1)Ik ben bezig met het bepalen van het aantal elementen in Hom(Dn,C*) voor n>=1. Ik heb het volgende: #Hom(Dn,C*)=#Hom(V4,C*) waarbij f(ab)=f(a)f(b) geldt. V4={1,a,b,ab} waarbij a,b en ab van orde 2. f(1)=1 f(a^2)=f(1)=1 dus f(a)=1 of f(a)=-1 (2keuzes) f(b^2)=f(1)=1 dus f(b)=1 of f(b)=-1 (2 keuzes) f(ab)=1 of f(ab)=-1. (2 keuzes) Maar hoe kan ik nu het aantal homomorfismen vinden? Is dat 1*2*2*2=8? 2)Als f:G->G'een homomorfisme is en N' een normaldeler, laat dan zien dat een surjectief homomorfisme f een isomorfisme G'N->G'/N'induceert.Hoe moet ik dit aanpakken met de isomorfisme stelling?
Roos
Student universiteit - dinsdag 21 mei 2013
Antwoord
Ik betwijfel dat $\#\mathrm{Hom}(D_n,\mathbb{C}^*)=\#\mathrm{Hom}(V_4,\mathbb{C}^*)$ voor alle $n$. Je bepaling van $\#\mathrm{Hom}(V_4,\mathbb{C}^*)$ is op de goede weg, behalve dat na de keuze van $f(a)$ en $f(b)$ de waarde $f(ab)$ natuurlijk vastligt. Het antwoord is dus $4$. Voor $D_n$: je hebt twee generatoren, een rotatie en een spiegeling; de rotatie heeft $n$ mogelijke beelden (de oplossingen van $z^n=1$) en de spiegeling heeft er twee. Je tweede vraag is me niet helemaal duidelijk: waar is $N'$ een normaaldeler van; wat is $N$; en wat betekent $G'N$?
Re: Homomorfismen 