WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Homeomorfisme

Hallo wisfaq,

Zij c 1. We definiëren een equivalentie-relatie op ^...n - {0} door

(x~y) desda (er is een s in met (c^...s)x=y)

Dan is de quotiëntruimte homeomorf met S^...1 x S^...(n-1)

Ik ben begonnen met kijken naar het geval n=1. Maar kwam er achter dat ik al niet zo goed begrijp hoe de quotiëntruimte

^...2 / ~ eruit ziet...

Het is iig een verzameling van equivalentieklassen. Ik heb gevonden dat voor elke x in (1, oneindig) er een representant van zijn equivalentieklasse in (1, c] ligt.
Want c1 en voor elke a in (1, c] is een equivalentieklasse [a]. Stel b zit in (c, c^...2) ofwel b=rc met 1 r c. Dan geldt: b~r en dus zit b in de equivalentieklasse [s] en s zit in (1, c]. Op dezelfde manier geldt dit elementen uit de intervallen (c^...i , c^...(i+1)]. Dus alle punten uit (1, oneindig) zitten in equivalentieklassen van de punten uit (1, c]. Klopt dit een beetje?

Het probleem is echter: In welke klassen zitten alle andere punten uit ? Hoe kunnen punten uit (-oneindig, 1] equivalent zijn met andere punten als c1 moet zijn?

En hoe is dit homeomorf met S?

Ik hoop dat u wat duidelijkheid kunt verschaffen.

Hartelijke groeten,

J
Student hbo - vrijdag 20 januari 2012

Antwoord

Je eerste analyse kan wat verbeterd worden: zelfs elke x$>$0 is equivalent met een punt uit (1,c] want de intervallen (c^i-1, cⁱ] overdekken netjes (0,oneindig).
Voor x$<$0 kun je inzien dat deze equivalent is met een punt in [-c,-1).
Beide intervallen bepalen een kopie van de cirkel, dus het quotient is homeomorf met het product van S¹ en {-1,1} en die laatste verzameling is, per definitie, S⁰.

In het algemene geval: elk punt x in Rⁿ ongelijk aan 0 is te schrijven als c^tz met z in S^n-1; definieer f van Rⁿ naar het product van S¹ en S^n-1 door f(x)=(e^2$\pi$ti,z) en bewijs dat x en y equivalent zijn dan en slechts dan als f(x)=f(y).

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 22 januari 2012