WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Mandelbrot fractaal

Hi, ook ik ben met mijn practische opdracht bezig, en zit er al goed in. Maar bij Mandelbrot heb ik een probleem. Ik snap niet precies wanneer de modulus of absolute waarde van z groter is dan 2. Want wanneer dit zo is, hoort het punt niet bij de fractal. Maar kunnen jullie mij niet een voorbeeld geven van een berekening waarbij deze boven de 2 uitkomt, want ik blijf altijd met een -1 zitten.
Verwijs me aub niet naar www.pandd.demon.nl, want hier heb ik reeds gekeken, maar nogal weinig aan gehad.
Enkele berekeningen die ik zelf heb gedaan:
bij punt (0,1) komen er niet meer dan 3 antwoorden uit, die steeds terugkeren, nl. -1+i, -i en i
bij (1,i) komt er steeds nul uit, is dit nu een zwart punt? Of mag ik dit punt helemaal niet pakken?
als laatste voorbeeld geef ik (1,1). Hierbij is
Z(1) = 1 + i
Z(2) = 1 + 3i
Z(3) = -7 + 7i
Z(4) = 1 - 97i
Wat moet ik met deze uitkomsten doen?

Alvast bedankt
Hans W
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 10 januari 2003

Antwoord

Evenals bij de Julia-fractaal, wordt voor het generen van de Mandelbrot-fractaal uitgegaan van de functie f(z) = z² + C, die de punten van het complexe vlak afbeeldt op zichzelf.

Nu wordt als startpunt van het iteratie proces steeds z₀ = 0 genomen en wordt gekeken naar de waarden van C die leiden tot convergentie en divergentie van het iteratie proces.

De Mandelbrot-verzameling bestaat uit die punten C (in het complexe vak) waarvoor het iteratie proces z_n+1 = z_n² + C (met z₀ = 0) convergent is.

De rand van het 'begrensdheidsgebied' is weer een fractaal, de Mandelbrot-fractaal.

Misschien denk je nu 'wat is dit voor een antwoord?' en daar heb je wel een beetje gelijk in. Het is niet zo eenvoudig... dus eerst zou je moeten weten van het 'complex vlak' is, wat 'iteratie' is, doen we nog even 'complexe afbeeldingen' erbij en dan nog 'even' doorgronden hoe je de verschillende 'cycli' met een verschillende kleur zou kunnen aangeven om een soort 'plaatje' te produceren.

Je kunt bij de functie steeds C kiezen. Dan blijkt dat bij sommige waarden van C deze functie zich te gaan 'herhalen'. Dat wil zeggen dat er steeds weer dezelfde antwoorden uitkomen. Soms gebeurt dat in twee stappen, soms in drie, soms in vier, enz... Zo'n punt (lees: zo'n C) geef je dan een bepaalde kleur. Punten waarbij dit proces niet optreedt maak je dan bijvoorbeeld zwart...

Kijk ook eens op Recurrente formules en webgrafieken of Iteratie en Mandelbrot. En je kunt natuurlijk nog verder zoeken op Mandelbrotset.
Zie Mandelbrot-verzameling

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 11 januari 2003