WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bepaling parametervoorstelling van kegelsnede

Homogene coordinaten x₀:x₁:x₂. Bepaal een parametervoorstelling van de kegelsnede met vergelijking
x₀x₁ + x₁x₂ + x₂x₀ = 0
Jan Go
Student universiteit - zondag 11 april 2010

Antwoord

Bij gebruik van homogene coördinaten volgt men de volgende procedure:
1) Men plaatst de kegelsnede in een vlak dat niet door de oorsprong O gaat. Ik neem hiervoor het vlak x₀=1.
2) Vervolgens vervangt men elk punt (1,a₁,a₂) door de straal
l(1,a₁,a₂) (l reëel) dat is de straal vanuit O die door het punt gaat.
3) Projectief gezien is de kegelsnede de verzameling der stralen vanuit het oog O naar de punten van de kegelsnede; deze vormen een kegel met als top O en als richtkromme de kegelsnede.

Omdat de vergelijking homogeen is, geldt:
(1,a₁,a₂) voldoet aan de vergelijking dan en slechts dan als l(1,a₁,a₂) voldoet voor alle l. (Ga dit na.)
De kegelsnede bestaat dus, projectief gezien, uit de stralen l(1,a₁,a₂) met
a₁ + a₁a₂ + a₂ = 0.
Een parametervoorstelling kan nu op vele manieren gemaakt worden.
Stelt men bijvoorbeeld a₁=x, dan is voor de stralen op de beschouwde kegelsnede a₂ = -x/(1+x). (Substitueer a₁=x in de laatste vergelijking, en bereken a₂.)
De bijbehorende parametervoorstelling wordt dan:
(x₀,x₁,x₂) = l(1,x,-x/(1+x)).
In affiene coördinaten is de parametervoorstelling:
(x₁,x₂) = (x,-x/(1+x).
Het is blijkbaar een hyperbool.

PS:
1) Voor x=-1 krijgt men de straal van het oneigenlijk punt in de richting van de x₂-as, dat is dus l(0,0,1).
Dit ziet men door in l(1,x,-x/(1+x)) voor l te nemen x+1, en dan x naar -1 te laten naderen.
2) Voor x=oneindig krijgt men het oneigenlijk punt in de richting van de x₁-as, dat is dus l(0,1,0).
Dit ziet men door in l(1,x,-x/(1+x)) voor l te nemen 1/x, en dan x naar oneindig te laten naderen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 23 april 2010