Homogene coordinaten x0:x1:x2. Bepaal een parametervoorstelling van de kegelsnede met vergelijking x0x1 + x1x2 + x2x0 = 0
Jan Go
Student universiteit - zondag 11 april 2010
Antwoord
Bij gebruik van homogene coördinaten volgt men de volgende procedure: 1) Men plaatst de kegelsnede in een vlak dat niet door de oorsprong O gaat. Ik neem hiervoor het vlak x0=1. 2) Vervolgens vervangt men elk punt (1,a1,a2) door de straal l(1,a1,a2) (l reëel) dat is de straal vanuit O die door het punt gaat. 3) Projectief gezien is de kegelsnede de verzameling der stralen vanuit het oog O naar de punten van de kegelsnede; deze vormen een kegel met als top O en als richtkromme de kegelsnede.
Omdat de vergelijking homogeen is, geldt: (1,a1,a2) voldoet aan de vergelijking dan en slechts dan als l(1,a1,a2) voldoet voor alle l. (Ga dit na.) De kegelsnede bestaat dus, projectief gezien, uit de stralen l(1,a1,a2) met a1 + a1a2 + a2 = 0. Een parametervoorstelling kan nu op vele manieren gemaakt worden. Stelt men bijvoorbeeld a1=x, dan is voor de stralen op de beschouwde kegelsnede a2 = -x/(1+x). (Substitueer a1=x in de laatste vergelijking, en bereken a2.) De bijbehorende parametervoorstelling wordt dan: (x0,x1,x2) = l(1,x,-x/(1+x)). In affiene coördinaten is de parametervoorstelling: (x1,x2) = (x,-x/(1+x). Het is blijkbaar een hyperbool.
PS: 1) Voor x=-1 krijgt men de straal van het oneigenlijk punt in de richting van de x2-as, dat is dus l(0,0,1). Dit ziet men door in l(1,x,-x/(1+x)) voor l te nemen x+1, en dan x naar -1 te laten naderen. 2) Voor x=oneindig krijgt men het oneigenlijk punt in de richting van de x1-as, dat is dus l(0,1,0). Dit ziet men door in l(1,x,-x/(1+x)) voor l te nemen 1/x, en dan x naar oneindig te laten naderen.
