WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Fouriercoëfficiënten berekenen

Dit is een reactie op vraag 61864

Beste kphart,

Bedankt voor de uitleg. Ik begrijp alleen nog niet wat de reden is van deze substitutie. Ik wil namelijk aantonen dat f^(n)=O(1/(|n|^a)) (grote O notatie). Om dit te laten zien moet ik de volgende gegevens gebruiken

(1) (a) f^(n)=(-1/2pi)[INT]{f(x+(pi/n))}dx waaruit volgt dat

(b) f^(n)=(1/4pi)[INT]{f(x)-f(x+(pi/n))}dx,

beide integralen lopen van -pi tot pi.
Ik begrijp niet hoe (b) uit (a) volgt?

(2) De functie f voldoet aan de Hölder conditie van orde a;
|f(x+h)-f(x)|=C|h|^a voor sommige 0a=1 en sommige constanten C0.

Ik begrijp niet hoe je moet aantonen dat |f^(n)|=C*|n|^a?

Vriendelijke groeten,

Viky
viky
Student universiteit - donderdag 11 maart 2010

Antwoord

Je vraag was naar de tweede scrijfwijze van de Fouriercoefficient; als je de integraal na de substitutie uitrekent krijg je -f⁽ⁿ⁾. Dat verklaart de pi/n: die geeft een factor exp(-pi i)=-1 en dus het minteken.
Je hebt nu twee schrijfwijzen voor f⁽ⁿ⁾; tel die bij elkaar op en deel het resultaat door 2, dan heb je formule (b) (in de integraal ontbreekt een factor exp(-i n x)).
Je kunt nu |f⁽ⁿ⁾| afschatten met behulp van formule (b) en het gegeven dat f aan de Holdervoorwaarde voldoet: |f(x)-f(x+pi/n)|=C*pi^a/n^a.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 12 maart 2010