WisFaq!

Re: Fouriercoëfficiënten berekenen

Beste kphart,

Bedankt voor de uitleg. Ik begrijp alleen nog niet wat de reden is van deze substitutie. Ik wil namelijk aantonen dat f^(n)=O(1/(|n|^a)) (grote O notatie). Om dit te laten zien moet ik de volgende gegevens gebruiken

(1) (a) f^(n)=(-1/2pi)[INT]{f(x+(pi/n))}dx waaruit volgt dat

(b) f^(n)=(1/4pi)[INT]{f(x)-f(x+(pi/n))}dx,

beide integralen lopen van -pi tot pi.
Ik begrijp niet hoe (b) uit (a) volgt?

(2) De functie f voldoet aan de Hölder conditie van orde a;
|f(x+h)-f(x)|=C|h|^a voor sommige 0a=1 en sommige constanten C0.

Ik begrijp niet hoe je moet aantonen dat |f^(n)|=C*|n|^a?

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
11-3-2010

Antwoord

Je vraag was naar de tweede scrijfwijze van de Fouriercoefficient; als je de integraal na de substitutie uitrekent krijg je -f⁽ⁿ⁾. Dat verklaart de pi/n: die geeft een factor exp(-pi i)=-1 en dus het minteken.
Je hebt nu twee schrijfwijzen voor f⁽ⁿ⁾; tel die bij elkaar op en deel het resultaat door 2, dan heb je formule (b) (in de integraal ontbreekt een factor exp(-i n x)).
Je kunt nu |f⁽ⁿ⁾| afschatten met behulp van formule (b) en het gegeven dat f aan de Holdervoorwaarde voldoet: |f(x)-f(x+pi/n)|=C*pi^a/n^a.

kphart
12-3-2010