WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Breuksplitsen

Tijdens het uitwerken van Int (x².dx)/(x-1)(x²+4)² stuit ik op een onverwacht probleem,als volgt: Int (dx)/(x²+4)². Mij is slechts bekend als standaard integraal: Int dx/(a²+x²= 1/a arctan (x/a)+C. Ik heb REA's Problem Solvers hiervoor geraadpleegd en vond op blz 522 dezelfde opgave! De Amerikanen echter hanteren daarbij een formule, die ik in de Nederlandse studieboeken nergens vond, nl:
Int dx/(a+bx²)²= x/2a(a+bx²) + 1/2a Int dx/(a+bx²)
Het doet mij denken aan p.i., maar kan iemand mij het bewijs leveren van deze formule en waarom kennen wij dit in Nederland niet? Ter verduidelijking Voor a=4 en voor b =1 substitueren. Ik hoop van harte dat iemand mij hierover meer duidelijkheid kan verschaffen. Bij voorbaat zeer veel dank!
Johan
Student hbo - maandag 6 juli 2009

Antwoord

Johan,
Bij Wisfaq kennen we deze integraal wel.Het gaat als volgt:
ò= (1/a)ò(a+bx²-bx²)/(a+bx²)² dx=
(1/a)òdx/(a+bx²)-(b/a)òx²/(a+bx²)²dx=
(1/a)òdx/(a+bx²)+(1/a)ò(¹/₂x)d(a+bx²)^-1=
(1/a)òdx/(a+bx²)+(x/2a)/(a+bx²)-(1/2a)òdx/(a+bx²)=
(x/2a)/(a+bx²)+(1/2a)òdx/(a+bx²).

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 10 juli 2009