WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Verwachte waarde kansvariabele minimum steekproef

Dit is een reactie op vraag 59451

Ow sorry het is inderdaad nogal onleesbaar. Hierbij even de volledige opgave:

We hebben een aselecte steekproef Y1,Y2,...,Yn van grootte n vanuit de uniforme verdeling op het interval (0, theta).
Nu moet ik de variantie van Y[1]:=min(Y1,Y2,..,Yn) berekenen.
Hiervoor moeten we eerst de verwachte waarde E[Y(1)] berekenen, en vervolgens natuurlijk E[Y(1)²]

Aangezien we met de uniforme verdeling te maken hebben is de verdelingsfunctie f(y) = 1 / theta
Hieruit volgt dat F(y) = y / theta
En g(y) = n · [1 - F(y)]^(n-1) · f(y)
= (ⁿ/_theta) · [1 - ^y/_theta]^(n-1)

Nu kun je de verwachte waarde van E[Y(1)] berekenen als:

ò₀^theta y · g(y) dy

= ò₀^theta y · (ⁿ/_theta) · [1 - ^y/_theta]^(n-1) dy

ik heb dit zelf vereenvoudigd tot:

= ò₀^theta (^yn/_thetaⁿ) · [theta -y]^n-1 dy

nu was mijn idee om theta - y = x te substitueren
zodat volgt y = theta - x en dy = -dx

alleen hierbij veranderen de grenzen 0 theta naar 1 0
volgens mij mag dit sowieso niet, dus vandaar dat ik niet weet hoe ik het moet oplossen. ik hoop dat het zo duidelijker is...

Ingema
Student universiteit - donderdag 28 mei 2009

Antwoord

Hallo, Ingemar.

De grenzen veranderen naar theta 0, en waarom zou dat niet mogen?
Er komt
(-n/thetaⁿ) $\int{}$_theta⁰(x+theta)·x^n-1 dx =
(n/thetaⁿ) $\int{}$₀^theta(x+theta)·x^n-1 dx =
(n/thetaⁿ) $\int{}$₀^theta(xⁿ+theta·x^n-1) dx.
U kent toch de primitieven van x^m voor m$\in\mathbf{N}$?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 28 mei 2009