WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Complexe oplossingen

Beste mevr/mr,

Hoe vind ik de complexe oplossingen voor x⁵ -7 = 0 ??

Mvg,

Barend

Barend
Student universiteit - woensdag 4 juni 2008

Antwoord

Laten we het algemeen probleem beschouwen: we willen voor een willekeurige complexe a de vergelijking x⁵ = a⁵ oplossen over de complexe getallen. (In het specifieke geval uit je vraag is dan natuurlijk a = 7^1/5.) Het geval a = 0 geeft duidelijk als enige oplossing x = 0 (met multipliciteit 5), en dus veronderstellen we in hetgeen volgt dat a verschillend is van 0 (en dus ook x ¹ 0).

We willen dat 0 = x⁵-a⁵ = (x-a)(x⁴+ax³+a²x²+a³x+a⁴). Dus ofwel moet x = a, ofwel moet x⁴+ax³+a²x²+a³x+a⁴ = 0. Deze laatste vergelijking is lastig: oplossingen kunnen gevonden worden via een welbepaald procédé, zoals bijvoorbeeld beschreven op Mathworld. Maar de vergelijking is erg symmetrisch, en daar gaan we handig gebruik van maken.

Noteer t = ^x/_a+^a/_x. Dan is t² = (x/a)²+(a/x)²+2. Als we nu in x⁴+ax³+a²x²+a³x+a⁴ = 0 beide leden delen door a²x² ¹ 0, dan krijgen we de equivalente vergelijking 0 = (x/a)²+(x/a)+1+(a/x)+(a/x)² = t²-2+1+t = t²+t-1. Deze vergelijking kan je oplossen naar t: zij t₁ en t₂ de twee oplossingen. Dan zullen (omdat t = x/a + a/x) de oplossingen van de vergelijkingen x²+a² = axt₁ en x²+a² = axt₂ vier oplossingen zijn van de oorspronkelijke vergelijking. Samen met de oplossing x=a zijn dit alle oplossingen.

Edit: je kan natuurlijk ook gewoon via de polaire schrijfwijze werken: stel x = r*e[sup]it[/sup] zodat x[sup]5[/sup] = 7 = 7*e[sup]0i[/sup]. Dan moet r = 7[sup]1/5[/sup] en 5t = 2k[$p$] met k geheel. Je vindt dan vijf verschillende wortels door in t = 2k[$p$]/5 achtereenvolgens k = 0, 1, 2, 3, 4 te stellen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 4 juni 2008