Hoe vind ik de complexe oplossingen voor x5 -7 = 0 ??
Mvg,
Barend
Barend
Student universiteit - woensdag 4 juni 2008
Antwoord
Laten we het algemeen probleem beschouwen: we willen voor een willekeurige complexe a de vergelijking x5 = a5 oplossen over de complexe getallen. (In het specifieke geval uit je vraag is dan natuurlijk a = 71/5.) Het geval a = 0 geeft duidelijk als enige oplossing x = 0 (met multipliciteit 5), en dus veronderstellen we in hetgeen volgt dat a verschillend is van 0 (en dus ook x ¹ 0).
We willen dat 0 = x5-a5 = (x-a)(x4+ax3+a2x2+a3x+a4). Dus ofwel moet x = a, ofwel moet x4+ax3+a2x2+a3x+a4 = 0. Deze laatste vergelijking is lastig: oplossingen kunnen gevonden worden via een welbepaald procédé, zoals bijvoorbeeld beschreven op Mathworld. Maar de vergelijking is erg symmetrisch, en daar gaan we handig gebruik van maken.
Noteer t = x/a+a/x. Dan is t2 = (x/a)2+(a/x)2+2. Als we nu in x4+ax3+a2x2+a3x+a4 = 0 beide leden delen door a2x2 ¹ 0, dan krijgen we de equivalente vergelijking 0 = (x/a)2+(x/a)+1+(a/x)+(a/x)2 = t2-2+1+t = t2+t-1. Deze vergelijking kan je oplossen naar t: zij t1 en t2 de twee oplossingen. Dan zullen (omdat t = x/a + a/x) de oplossingen van de vergelijkingen x2+a2 = axt1 en x2+a2 = axt2 vier oplossingen zijn van de oorspronkelijke vergelijking. Samen met de oplossing x=a zijn dit alle oplossingen.
Edit: je kan natuurlijk ook gewoon via de polaire schrijfwijze werken: stel x = r*e[sup]it[/sup] zodat x[sup]5[/sup] = 7 = 7*e[sup]0i[/sup]. Dan moet r = 7[sup]1/5[/sup] en 5t = 2k[$p$] met k geheel. Je vindt dan vijf verschillende wortels door in t = 2k[$p$]/5 achtereenvolgens k = 0, 1, 2, 3, 4 te stellen.
