WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Omtrekshoeken en gelijkvormige driehoeken

geg.: cirkel c met als middellijn AB, middellijn DC, middelpunt M.(hoek M is dus telkens 90 graden).
CE = CM (E is een punt op CM)
De koorde AF loopt door E en 3 andere koordes zijn CF, FD en FB. Hoek F is in zijn geheel 135 graden en wordt in 3 hoeken van 45 graden verdeeld door AF en FD.
FD snijdt de straal MB in het punt P
Gevraagd : Toon aan dat AF = 2BF
MB = 3MP
FD = 3CF
Deze oefening staat in het wiskunde boek Delta 4A op bladzijde 86 oefening 45.
Ik geraak een deel opweg, maar krijg de vraag niet helemaal of verkeerd uitgewerkd. Als u mij kan vertellen hoe ik moet vertrekken, dan krijg ik de oefening waarschijnlijk wel uitgewerkd, want ik denk dat ik verkeerd begin.
Yasmin
2de graad ASO - zondag 24 november 2002

Antwoord

In driehoek AME geldt dat tanÐA = EM/AM = 1/2.
Diezelfde hoek A tref je ook aan in de rechthoekige driehoek ABF, en dan geldt in die driehoek: tanÐA = FB/AF.
Omdat dezelfde hoek dezelfde tangens heeft, geldt dus: FB/AF = 1/2, waaruit volgt dat AF = 2BF

In driehoek ABF is PF een bissectrice. Je weet vermoedelijk dat een bissectrice de zijde waar hij eindigt verdeelt in de verhouding van de aanliggende zijden. Hier dus: AP : PB = AF : BF en omdat je net hebt gezien dat die laatste verhouding 1 : 2 is, heb je nu bewezen dat AP : PB = 1 : 2 ofwel AP = 2PB.
Hier staat dan eigenlijk: (r + MP) = 2(r - MP) ofwel
3MP = r. Dus is MB = r = 3.MP

Exact hetzelfde: FE is bissectrice in driehoek DFC, zodat DF : FC = AE : EC = 1,5r : 0,5r = 3 : 1

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 13 december 2002