geg.: cirkel c met als middellijn AB, middellijn DC, middelpunt M.(hoek M is dus telkens 90 graden). CE = CM (E is een punt op CM) De koorde AF loopt door E en 3 andere koordes zijn CF, FD en FB. Hoek F is in zijn geheel 135 graden en wordt in 3 hoeken van 45 graden verdeeld door AF en FD. FD snijdt de straal MB in het punt P Gevraagd : Toon aan dat AF = 2BF MB = 3MP FD = 3CF Deze oefening staat in het wiskunde boek Delta 4A op bladzijde 86 oefening 45. Ik geraak een deel opweg, maar krijg de vraag niet helemaal of verkeerd uitgewerkd. Als u mij kan vertellen hoe ik moet vertrekken, dan krijg ik de oefening waarschijnlijk wel uitgewerkd, want ik denk dat ik verkeerd begin.
Yasmin
2de graad ASO - zondag 24 november 2002
Antwoord
In driehoek AME geldt dat tanÐA = EM/AM = 1/2. Diezelfde hoek A tref je ook aan in de rechthoekige driehoek ABF, en dan geldt in die driehoek: tanÐA = FB/AF. Omdat dezelfde hoek dezelfde tangens heeft, geldt dus: FB/AF = 1/2, waaruit volgt dat AF = 2BF
In driehoek ABF is PF een bissectrice. Je weet vermoedelijk dat een bissectrice de zijde waar hij eindigt verdeelt in de verhouding van de aanliggende zijden. Hier dus: AP : PB = AF : BF en omdat je net hebt gezien dat die laatste verhouding 1 : 2 is, heb je nu bewezen dat AP : PB = 1 : 2 ofwel AP = 2PB. Hier staat dan eigenlijk: (r + MP) = 2(r - MP) ofwel 3MP = r. Dus is MB = r = 3.MP
Exact hetzelfde: FE is bissectrice in driehoek DFC, zodat DF : FC = AE : EC = 1,5r : 0,5r = 3 : 1
