WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Convexe Analyse - Separation in Rn

Beste lezer,

Laat K een niet-lege closed convex set in de R^n zijn en x geen element van K.

Omdat de verzameling gesloten is weet ik dat het
min_{y in K}||x-y||₂=||x-y^*|| bestaat.

Vraag: Hoe laat ik zien dat e=x-y^* een strikt scheidend hyper-vlak is tussen x en K, anders gezegd
e^T(x-y)||e||²₂, voor alle y in K.

Ik neem aan dat ik moet gebruiken: ||x-y||||x-y^*|| maar ik weet niet wat ik moet doen?

Heeft u een hint voor mij?

M.vr.gr.
Ruben
Student universiteit - vrijdag 15 februari 2008

Antwoord

Ten eerste: e is geen hypervlak maar een vector.
Ten tweede: de ongelijkheid die je noemt is wel wat je moet bewijzen om te laten zien dat het hypervlak V met vergelijking e^Tz=e^Ty* een scheidend hypervlak is omdat uit de ongelijkheid volgt dat e ^Ty=e^Ty*e^Tx voor alle y in K.
Het bewijs gebruikt het inwendig product en de convexiteit van K natuurlijk: stel y in K en bekijk het lijnstuk dat y* en y verbindt, je kunt dat parametrizeren met p(t)=y*+t(y-y*) met 0=t=1. Voor elke t zit het bijbehorende punt p(t) in K, dus geldt ||p(t)-x||=||y*-x||=||e||. Schrijf p(t)-x uit, p(t)=y*-x+t(y-y*)=t(y-y*)-e, en werk het inwendig product (p(t)-x)^T(p(t)-x) uit: t²||y-y*||²-2te^T(y-y*)+||e||². Het resultaat is groter dan of gelijk aan ||e||², dus volgt dat t²||y-y*||²-2te^T(y-y*)=0 voor alle t; haal t buiten de haakjes en wissel y* en y om; er volgt t||y*-y||²+2e^T(y*-y)=0 voor 0t1 en dus ook als t=0, maar dan staat er e^T(y*-y)=0, precies wat bewezen moet worden.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 20 februari 2008