Convexe Analyse - Separation in Rn
Beste lezer,
Laat K een niet-lege closed convex set in de R^n zijn en x geen element van K.
Omdat de verzameling gesloten is weet ik dat het
miny in K||x-y||2=||x-y^*|| bestaat.
Vraag: Hoe laat ik zien dat e=x-y^* een strikt scheidend hyper-vlak is tussen x en K, anders gezegd
e^T(x-y) ||e||22, voor alle y in K.
Ik neem aan dat ik moet gebruiken: ||x-y||||x-y^*|| maar ik weet niet wat ik moet doen?
Heeft u een hint voor mij?
M.vr.gr.
Ruben
Student universiteit - vrijdag 15 februari 2008
Antwoord
Ten eerste: e is geen hypervlak maar een vector.
Ten tweede: de ongelijkheid die je noemt is wel wat je moet bewijzen om te laten zien dat het hypervlak V met vergelijking eTz=eTy* een scheidend hypervlak is omdat uit de ongelijkheid volgt dat e Ty =eTy*eTx voor alle y in K.
Het bewijs gebruikt het inwendig product en de convexiteit van K natuurlijk: stel y in K en bekijk het lijnstuk dat y* en y verbindt, je kunt dat parametrizeren met p(t)=y*+t(y-y*) met 0=t=1. Voor elke t zit het bijbehorende punt p(t) in K, dus geldt ||p(t)-x|| =||y*-x||=||e||. Schrijf p(t)-x uit, p(t)=y*-x+t(y-y*)=t(y-y*)-e, en werk het inwendig product (p(t)-x)T(p(t)-x) uit: t2||y-y*||2-2teT(y-y*)+||e||2. Het resultaat is groter dan of gelijk aan ||e||2, dus volgt dat t2||y-y*||2-2teT(y-y*)=0 voor alle t; haal t buiten de haakjes en wissel y* en y om; er volgt t||y*-y||2+2eT(y*-y)=0 voor 0t1 en dus ook als t=0, maar dan staat er eT(y*-y)=0, precies wat bewezen moet worden.
kphart
woensdag 20 februari 2008
©2001-2024 WisFaq
|