WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een familie van functies

f(x)= -x² -2x + p, het maximum = 1
bereken p
voor welke p is max -1
als nu gegeven is dat p = -1, wat is dan het maximum van f

philip
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 19 maart 2007

Antwoord

Je kunt deze vraag op een aantal manieren aanpakken. Omdat je verder geen informatie geeft zal ik maar een aantal mogelijkheden opnoemen. Kijk maar welke je aanspreekt.
De grafiek van f(x) is een parabool.
Je kunt nagaan dat voor de algemene gedaante van de parabool, y=ax²+bx+c geldt dat de top ligt bij x=-b/(2a).
Voor deze parabool geldt: a=-1, b=-2 en c=p.
Dus top bij x=-b/(2a)=2/-2=-1.
y_top=-1+2+p=p+1.

Als je al hebt leren differentieren kun je dit ook op de volgende manier doen:
f'(x)=-2x-2.
f'(x)=0 $\Rightarrow$ -2x-2=0 $\Rightarrow$ x=-1, y_top=-1+2+p=p+1.

Een parabool is symmetrisch. De top ligt midden tusen de snijpunten met een horizontale lijn.
We nemen de lijn y=p.
Dus los op: -x²-2x+p=p $\Rightarrow$ -x²-2x+p=p $\Rightarrow$ -x²-2x=0 $\Rightarrow$-x(x+2)=0
$\Rightarrow$x-0 of x=-2 zijn de snijpunten met de lijn y=p, de top ligt dus bij (0-2)/2=-1; y_top=-1+2+p=p+1.

Kwadraat afsplitsen
-x²-2x+p=-(x²+2x)+p=-(x²+2x+1)+p+1=-(x+1)²+p+1
Top dus (-1,p+1)

Los -x²-2x+p=0 op met de ABC-formule:
a=-1, b=-2, c=p, D=4+4p
x=(2±√(4+4p))/(-2)=-1±√(p+1).
Top midden tussen de nulpunten, dus x_top=-1, etc...

Je krijgt de grafiek van f door de grafiek van y=-x²-2x over een afstand p omhoog te schuiven. De top van y=-x²-2x is (-1,1). De top van f dus (-1,1+p)
Na het voorbereidende werk, dat dus op verschillende manieren kan, kun je de opgave zo afmaken:
max=y_top=1
Dus p+1=1, dus p=0.

max=y_top=-1
Dus p+1=-1, dus p=-2.

max=y_top=p+1, maar p=-1, dus max=-1+1=0.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 19 maart 2007