WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een deelbaarheids proef voor 3, 7 , 9 en 11

Ik weet dat de 3, 7, 9 en 11 proef werken maar ik snap niet hoe dit kan want elk getal dat ik geprobeerd heb is gelukt bij alle proeven, maar de logica er achter snap ik niet...

Zou u zo vriendelijk willen zijn mij dit uit te leggen, want ik snap er werkelijk niks van

Bij voorbaat dank W
Wouter
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 24 oktober 2007

Antwoord

Wouter,
Test of een getal deelbaar is door 7:
Haal het laatste cijfer weg en trek daar het dubbele van het laatste cijfer van af.
v.b.
12345$\to$1234-2·5=1224$\to$122-2·4=114$\to$11-2·4=3
Nee dus.
12348$\to$1234-16=1218$\to$121-16=105$\to$10-10=0
Dus deelbaar door 7.
Je vraag is: Waarom is dat zo?

Stel het getal N. Je kan dit schrijven als: 10x+y
Met dit algoritme krijg je:
N=10x+y$\to$x-2y.
Stel: x-2y is deelbaar is door 7, dan is 10(x-2y)=10x-20y ook deelbaar door 7.
21y is deelbaar door 7, dus 10x-20y+21y=10x+y=N is ook deelbaar door 7.
Omgekeerd: Als x-2y niet deelbaar is door 7, dan is N ook niet deelbaar door 7.

Een andere uitleg: N=10x+y$\to$x-2y.
Het verschil: (10x+y)-(x-2y)=9x+3y=3(3x+y)
Als 10x+y een 7-voud is, dan ook 3x+y ook een 7-voud, dus 3(3x+y) is een 21-voud.
Als N een 7-voud is trek je er dus steeds een 21-voud van af.

Wat betreft de test op deelbaarheid door 11:
93126
Wordt toch duidelijk uitgelegd:
1(mod 11)=+1 , dus 6(mod 11)=+6
10 (mod 11)=-1 , dus 20(mod 11)=-2
100(mod 11)=+1 ,dus 100(mod 11)=+1
1000(mod 11)=-1 ,dus 3000(mod 11)=-3
10000(mod 11)=+1 ,dus 90000(mod 11)=+9
Totaal:6-2+1-3+9=11, dus 93126 is deelbaar door 11.
Je moet daarom vanaf rechts de cijfers van het getal om en om optellen en aftrekken.

ldr

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 24 oktober 2007