Ik weet dat de 3, 7, 9 en 11 proef werken maar ik snap niet hoe dit kan want elk getal dat ik geprobeerd heb is gelukt bij alle proeven, maar de logica er achter snap ik niet...
Zou u zo vriendelijk willen zijn mij dit uit te leggen, want ik snap er werkelijk niks van
Bij voorbaat dank W
Wouter
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 24 oktober 2007
Antwoord
Wouter, Test of een getal deelbaar is door 7: Haal het laatste cijfer weg en trek daar het dubbele van het laatste cijfer van af. v.b. 12345$\to$1234-2·5=1224$\to$122-2·4=114$\to$11-2·4=3 Nee dus. 12348$\to$1234-16=1218$\to$121-16=105$\to$10-10=0 Dus deelbaar door 7. Je vraag is: Waarom is dat zo?
Stel het getal N. Je kan dit schrijven als: 10x+y Met dit algoritme krijg je: N=10x+y$\to$x-2y. Stel: x-2y is deelbaar is door 7, dan is 10(x-2y)=10x-20y ook deelbaar door 7. 21y is deelbaar door 7, dus 10x-20y+21y=10x+y=N is ook deelbaar door 7. Omgekeerd: Als x-2y niet deelbaar is door 7, dan is N ook niet deelbaar door 7.
Een andere uitleg: N=10x+y$\to$x-2y. Het verschil: (10x+y)-(x-2y)=9x+3y=3(3x+y) Als 10x+y een 7-voud is, dan ook 3x+y ook een 7-voud, dus 3(3x+y) is een 21-voud. Als N een 7-voud is trek je er dus steeds een 21-voud van af.
Wat betreft de test op deelbaarheid door 11: 93126 Wordt toch duidelijk uitgelegd: 1(mod 11)=+1 , dus 6(mod 11)=+6 10 (mod 11)=-1 , dus 20(mod 11)=-2 100(mod 11)=+1 ,dus 100(mod 11)=+1 1000(mod 11)=-1 ,dus 3000(mod 11)=-3 10000(mod 11)=+1 ,dus 90000(mod 11)=+9 Totaal:6-2+1-3+9=11, dus 93126 is deelbaar door 11. Je moet daarom vanaf rechts de cijfers van het getal om en om optellen en aftrekken.
