WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Onvereenvoudigbare breuken

Hoeveel onvereenvoudigbare strikt positieve breuken zijn er met 180 als som van teller en noemer?
Tom
3de graad ASO - maandag 15 oktober 2007

Antwoord

Beste Tom,

Stel dat x = teller en y = noemer.
Dan weten we dat x+y=180 met x,y $\in$$\mathbf{N}$ verschillend van 0 dus x = 180-y.

We kunnen onze breuk dan als volgt noteren: (180-y)/y. Opdat de breuk nu onvereenvoudigbaar zou zijn mag y geen deler zijn van (180-y).
We ontbinden 180 in priemfactoren. We krijgen 180 = 2²·3²·5 dus y mag geen deler zijn van (2²·3²·5-y). Nu wordt het een beetje ingewikkelder. y mag dus geen 2,3 of 5 zijn dat spreekt voor zich want dan is de breuk vereenvoudigbaar en dat is in strijd met het gegeven. y mag ook geen veelvoud zijn van 2,3 of 5. Dat lijkt misschien onlogisch maar dat is het niet. Stel y=22 dan is y=2·11 dus (2²·3²·5-2·11)/(2·11) en wat blijkt ...
de breuk is ook vereenvoudigbaar. We zoeken nu hoeveel getallen er deelbaar zijn door 2 van 0 t.e.m. 179 (want y$ \ne $0). We vinden dit aantal door 179 te delen door 2 dus 179/2= 89.5 Er zijn dus 89 getallen die deelbaar zijn door 2. We zoeken vervolgens hoeveel getallen er deelbaar zijn door 3 en 5. Respectievelijk 59 en 35. We hebben nu wel een aantal getallen dubbel geteld namelijk de getallen die zowel deelbaar zijn door 2 en 3 , 2 en 5 , 3 en 5 , 2 en 3 en 5. Dus moeten we kijken hoeveel getallen deelbaar zijn door 6, 10, 15 en 30. Dat zijn er respectievelijk 29, 17, 11 en 5. We maken nu de eindsom dus:
180-89-59-35+29+17+11+5=59
Er zijn dus 59 strikt positieve breuken die onvereenvoudigbaar zijn en waarvan de som van teller en noemer 180 is.
Lang he voor zo'n korte opgave.

Kevin

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 15 oktober 2007