Onvereenvoudigbare breuken

Hoeveel onvereenvoudigbare strikt positieve breuken zijn er met 180 als som van teller en noemer?

Tom
3de graad ASO - maandag 15 oktober 2007

Antwoord

Beste Tom,

Stel dat x = teller en y = noemer.
Dan weten we dat x+y=180 met x,y $\in$$\mathbf{N}$ verschillend van 0 dus x = 180-y.

We kunnen onze breuk dan als volgt noteren: (180-y)/y. Opdat de breuk nu onvereenvoudigbaar zou zijn mag y geen deler zijn van (180-y).
We ontbinden 180 in priemfactoren. We krijgen 180 = 2²·3²·5 dus y mag geen deler zijn van (2²·3²·5-y). Nu wordt het een beetje ingewikkelder. y mag dus geen 2,3 of 5 zijn dat spreekt voor zich want dan is de breuk vereenvoudigbaar en dat is in strijd met het gegeven. y mag ook geen veelvoud zijn van 2,3 of 5. Dat lijkt misschien onlogisch maar dat is het niet. Stel y=22 dan is y=2·11 dus (2²·3²·5-2·11)/(2·11) en wat blijkt ...
de breuk is ook vereenvoudigbaar. We zoeken nu hoeveel getallen er deelbaar zijn door 2 van 0 t.e.m. 179 (want y$ \ne $0). We vinden dit aantal door 179 te delen door 2 dus 179/2= 89.5 Er zijn dus 89 getallen die deelbaar zijn door 2. We zoeken vervolgens hoeveel getallen er deelbaar zijn door 3 en 5. Respectievelijk 59 en 35. We hebben nu wel een aantal getallen dubbel geteld namelijk de getallen die zowel deelbaar zijn door 2 en 3 , 2 en 5 , 3 en 5 , 2 en 3 en 5. Dus moeten we kijken hoeveel getallen deelbaar zijn door 6, 10, 15 en 30. Dat zijn er respectievelijk 29, 17, 11 en 5. We maken nu de eindsom dus:
180-89-59-35+29+17+11+5=59
Er zijn dus 59 strikt positieve breuken die onvereenvoudigbaar zijn en waarvan de som van teller en noemer 180 is.
Lang he voor zo'n korte opgave.

Kevin
maandag 15 oktober 2007

©2001-2024 WisFaq