WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Continue functies

Dag beste

Mijn vraag gaat als volgt: Waarom is de samengestelde functie van 2 continue functies opnieuw continu?

Alvast bedankt
Bart H
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 11 oktober 2007

Antwoord

Beste Bart,

Ik neem aan dat het gaat om functies van AÍ naar .
Zo'n functie is continu als zij continu is in elk punt van haar domein.
Stel f en g zijn continue functies.
Een punt x uit het domein van f behoort tot het domein van de samengestelde functie gf dan en slechts dan als y=f(x) tot het domein van g behoort.
Het domein van gf is dus een deelverzameling van het domein van f.
Stel nu dat a tot het domein van gf behoort, en zij b=f(a). Dus g is continu in b, en f is continu in a.
Te bewijzen: gf is continu in a.

Bewijs:
Stel e is een klein positief getal.
Omdat g continu is in b bestaat er een klein positief getal g zodat voor alle y in het domein van g op afstand kleiner dan g van b geldt:
|g(y)-g(b)| e.
Omdat f continu is in a, bestaat er een klein positief getal d zodat voor alle x in het domein van f op afstand kleiner dan d van a geldt:
|f(x)-f(a)| g.
Dan geldt ook voor alle x in het domein van gf op afstand kleiner dan d van a:
1) |f(x)-f(a)| g, dus y=f(x) ligt op afstand kleiner dan g van b=f(a);
2) |gf(x)-gf(a)| = |g(f(x))-g(f(a))| = |g(y)-g(b)| e, q.e.d.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 11 oktober 2007