Ik neem aan dat het gaat om functies van AÍ
naar .Zo'n functie is continu als zij continu is in elk punt van haar domein.
Stel f en g zijn continue functies.
Een punt x uit het domein van f behoort tot het domein van de samengestelde functie gf dan en slechts dan als y=f(x) tot het domein van g behoort.
Het domein van gf is dus een deelverzameling van het domein van f.
Stel nu dat a tot het domein van gf behoort, en zij b=f(a). Dus g is continu in b, en f is continu in a.
Te bewijzen: gf is continu in a.
Bewijs:
Stel e is een klein positief getal.
Omdat g continu is in b bestaat er een klein positief getal g zodat voor alle y in het domein van g op afstand kleiner dan g van b geldt:
|g(y)-g(b)|
e.Omdat f continu is in a, bestaat er een klein positief getal d zodat voor alle x in het domein van f op afstand kleiner dan d van a geldt:
|f(x)-f(a)|
g.Dan geldt ook voor alle x in het domein van gf op afstand kleiner dan d van a:
1) |f(x)-f(a)|
g, dus y=f(x) ligt op afstand kleiner dan g van b=f(a);2) |gf(x)-gf(a)| = |g(f(x))-g(f(a))| = |g(y)-g(b)|
e, q.e.d.
hr
11-10-2007