WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Euler

hoe los ik door middel van de formule van Euler een n-de graads vergelijking op?
Ruud
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 27 september 2007

Antwoord

U bedoelt de formule wⁿ=a (w,a$\in\mathbf{C}$)?
In bijzondere gevallen kan men een n-de-graads vergelijking p(z)=0 door een transformatie z=w+b in de vorm van deze formule gieten.

Voorbeeld: z³+iz²-z/3+1/27=0.
Dit kan men schrijven als (z+i/3)³ = -(1+i)/27, dus door w=z+i/3 gaat dit over in w³=a met a=-(1+i)/27.
Gebruik nu poolcoördinaten: w=r(cosj+i·sinj), a=((√2)/27)(cos(5$\pi$/4)+i·sin(5$\pi$/4)).
De formule van De Moivre vertelt ons dat w³=r³(cos(3j)+i·sin(3j)), dus r³=(√2)/27 en 3j=5$\pi$/4+2k$\pi$ voor k$\in\mathbf{Z}$.
Dan volgt r=(³√(√2))/3 en (j=5$\pi$/12 of j=13$\pi$/12 of j=21$\pi$/12.
Je kunt nu w terugvinden, en vervolgens z. De drie oplossingen zijn in het complexe vlak de hoekpunten van een regelmatige driehoek en liggen op een cirkel met middelpunt -i/3 en straal =(³√(√2))/3.

Opmerking: men gebruikt wel de afkorting e^ij voor cosj+i·sinj.
In verband met de stelling van De Moivre klopt dit met de rekenregels voor machtsverheffen:
(e^ij)ⁿ = (cosj+i·sinj)ⁿ = cos(nj)+i·sin(nj) = e^nij.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 27 september 2007