WisFaq!

Euler

hoe los ik door middel van de formule van Euler een n-de graads vergelijking op?

Ruud
27-9-2007

Antwoord

U bedoelt de formule wⁿ=a (w,a$\in\mathbf{C}$)?
In bijzondere gevallen kan men een n-de-graads vergelijking p(z)=0 door een transformatie z=w+b in de vorm van deze formule gieten.

Voorbeeld: z³+iz²-z/3+1/27=0.
Dit kan men schrijven als (z+i/3)³ = -(1+i)/27, dus door w=z+i/3 gaat dit over in w³=a met a=-(1+i)/27.
Gebruik nu poolco顤dinaten: w=r(cosj+i新inj), a=((√2)/27)(cos(5$\pi$/4)+i新in(5$\pi$/4)).
De formule van De Moivre vertelt ons dat w³=r³(cos(3j)+i新in(3j)), dus r³=(√2)/27 en 3j=5$\pi$/4+2k$\pi$ voor k$\in\mathbf{Z}$.
Dan volgt r=(³√(√2))/3 en (j=5$\pi$/12 of j=13$\pi$/12 of j=21$\pi$/12.
Je kunt nu w terugvinden, en vervolgens z. De drie oplossingen zijn in het complexe vlak de hoekpunten van een regelmatige driehoek en liggen op een cirkel met middelpunt -i/3 en straal =(³√(√2))/3.

Opmerking: men gebruikt wel de afkorting e^ij voor cosj+i新inj.
In verband met de stelling van De Moivre klopt dit met de rekenregels voor machtsverheffen:
(e^ij)ⁿ = (cosj+i新inj)ⁿ = cos(nj)+i新in(nj) = e^nij.

hr
27-9-2007