WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Aantal manieren

Goededag,

De eerste vraag:

Een groep van 8 mannen en 4 vrouwen wordt getraind op een ruimtevaartcentrum voor een bemande vlucht naar Mars. Uiteindelijk zullen er later 5 personen (3 mannen en 2 vrouwen) geselecteerd worden om de vlucht mee te maken. Een krant looft een grote prijs uit voor de persoon die precies voorspelt welke de 5 geselecteerde deelnemers zijn. Op hoeveel manieren kan hier een verschillend vijftal gekozen worden?

Ik doe:

3 mannen kan op: 8·7·6 = 336 manieren
2 vrouwen kan op: 4·3 = 12 manieren

Volgens mij moet ik nu 336 · 12 = 4032 manieren. Klopt dit? Of had ik deze 2 getallen moet optellen, zoja, waarom?

De 2de opdracht:

Je gaat nu met een goede vriendin eten in een restaurant. In dat restaurant kan men kiezen uit 5 voorgerechten, 6 hoofdgerechten en 4 nagerechten. Je kiest allebei willekeurig, maar wel verschillend, elk één voor-, één hoofd- en één nagerecht. Hoeveel verschillende gerechtencombinaties kun je samen op tafel laten verschijnen? En hoeveel als je er in je eentje gaat eten?

Ik doe:
In je eentje: 5·6·4 = 120 manieren

Met zijn 2'en:
5·6·4 = 120 manieren
4·5·3 = 60 manieren

Dan doe ik 120 · 60 = 7200 Klopt dit? Of had ik deze moeten optellen, en zoja, waarom?

Alvast bedankt!
Bert V
Student hbo - woensdag 18 april 2007

Antwoord

Laten we maar 's kijken naar de 1e opdracht. Daar zie je iets belangrijks over het hoofd. Als je 3 mannen kiest op 8·7·6 manieren dan heb je verschillende permutaties voor dezelfde combinatie. Anders gezegd: Arie, Bert en Cor is in dit geval hetzelfde als Bert, Arie en Cor... dus je zou die 336 manieren nog eens moeten delen door 3!=6 en dat geeft dan 56 mogelijkheden. Hetzelfde geldt voor de vrouwen. Je moet dan nog delen door 2 en dat geeft 6 mogelijkheden. Voor het totaal aantal mogelijkheden vermenigvuldig je 56 met 6 en dat is dan 336 mogelijkheden (lees: combinaties!)

Waarom moet je nu vermenigvuldigen? Omdat voor elke combinatie mannen die je kiest je 6 verschillende combinaties vrouwen kan kiezen. In dit geval heb je dus 6 keer zo veel 'totaal aantal mogelijkheden' dan 'mannen mogelijkheden'.

Maar dat kan toch allemaal veel eenvoudiger? Op 3. Combinaties kan je lezen dat als je 3 mannen moet kiezen uit 8 en je daarbij niet let op de volgorde dit op '8 boven 3' manieren kan. Zo ook voor het kiezen van 2 vrouwen uit 4. Dat kan op '4 boven 2' manieren. Dus:

Al met al veel handiger toch? Je kunt nu eens zelf proberen of je de 2e opgave nu zelf ook kan. Het probleem is, volgens mij, hetzelfde, alleen smakelijker.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 18 april 2007

Re: Aantal manieren