WisFaq!

Aantal manieren

Goededag,

De eerste vraag:

Een groep van 8 mannen en 4 vrouwen wordt getraind op een ruimtevaartcentrum voor een bemande vlucht naar Mars. Uiteindelijk zullen er later 5 personen (3 mannen en 2 vrouwen) geselecteerd worden om de vlucht mee te maken. Een krant looft een grote prijs uit voor de persoon die precies voorspelt welke de 5 geselecteerde deelnemers zijn. Op hoeveel manieren kan hier een verschillend vijftal gekozen worden?

Ik doe:

3 mannen kan op: 8·7·6 = 336 manieren
2 vrouwen kan op: 4·3 = 12 manieren

Volgens mij moet ik nu 336 · 12 = 4032 manieren. Klopt dit? Of had ik deze 2 getallen moet optellen, zoja, waarom?

De 2de opdracht:

Je gaat nu met een goede vriendin eten in een restaurant. In dat restaurant kan men kiezen uit 5 voorgerechten, 6 hoofdgerechten en 4 nagerechten. Je kiest allebei willekeurig, maar wel verschillend, elk één voor-, één hoofd- en één nagerecht. Hoeveel verschillende gerechtencombinaties kun je samen op tafel laten verschijnen? En hoeveel als je er in je eentje gaat eten?

Ik doe:
In je eentje: 5·6·4 = 120 manieren

Met zijn 2'en:
5·6·4 = 120 manieren
4·5·3 = 60 manieren

Dan doe ik 120 · 60 = 7200 Klopt dit? Of had ik deze moeten optellen, en zoja, waarom?

Alvast bedankt!

Bert Vaandel
18-4-2007

Antwoord

Laten we maar 's kijken naar de 1e opdracht. Daar zie je iets belangrijks over het hoofd. Als je 3 mannen kiest op 8·7·6 manieren dan heb je verschillende permutaties voor dezelfde combinatie. Anders gezegd: Arie, Bert en Cor is in dit geval hetzelfde als Bert, Arie en Cor... dus je zou die 336 manieren nog eens moeten delen door 3!=6 en dat geeft dan 56 mogelijkheden. Hetzelfde geldt voor de vrouwen. Je moet dan nog delen door 2 en dat geeft 6 mogelijkheden. Voor het totaal aantal mogelijkheden vermenigvuldig je 56 met 6 en dat is dan 336 mogelijkheden (lees: combinaties!)

Waarom moet je nu vermenigvuldigen? Omdat voor elke combinatie mannen die je kiest je 6 verschillende combinaties vrouwen kan kiezen. In dit geval heb je dus 6 keer zo veel 'totaal aantal mogelijkheden' dan 'mannen mogelijkheden'.

Maar dat kan toch allemaal veel eenvoudiger? Op 3. Combinaties kan je lezen dat als je 3 mannen moet kiezen uit 8 en je daarbij niet let op de volgorde dit op '8 boven 3' manieren kan. Zo ook voor het kiezen van 2 vrouwen uit 4. Dat kan op '4 boven 2' manieren. Dus:



Al met al veel handiger toch? Je kunt nu eens zelf proberen of je de 2e opgave nu zelf ook kan. Het probleem is, volgens mij, hetzelfde, alleen smakelijker.

WvR
18-4-2007