WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Twee bewijzen

Dag ik moet de volgende 2 vragen bewijzen maar weet niet hoe.

1 ) f(x)= (1-x)/(1+x)

de nde afgeleide van f is dan 2·(-1)²·n·(n-1)·...·3·2·1/(1+x)ⁿ⁺¹
2. matrix van ( 1  1 ) ⁿ  = ( 1  2ⁿ -1 )
                0  2           0  2ⁿ
Alvast bedankt
bart
Overige TSO-BSO - woensdag 8 november 2006

Antwoord

Beide stellingen zijn geformuleerd voor alle n in de natuurlijke getallen. Dat zijn typische stellingen die je kan bewijzen met behulp van volledige inductie.
Hetgeen je moet bewijzen is dat de stelling waar is voor n=1 (de startwaarde)
en dan moet je aannemen dat de stelling waar is voor (n-1) (de inductiehypothese (IH)) en je moet ze aan de hand daarvan bewijzen voor n.

laten we beginnen met 2)
Startwaarde n=1: Er staat
|1 1|  = |1 2-1|   =  |1 1|
|0 2|    |0 2  |      |0 2|
Dus voor n=1 klopt het.
Stel nu de IH: we nemen dus aan dat:
     n-1
|1 1|    =   |1 2^n-1-1 |
|0 2|        |0  2^n-1  |
We proberen het aan de hand hiervan te bewijzen voor n:
Doe links en rechts maal:
|1 1|
|0 2|
Je krijgt dan links
     n
|1 1| 
|0 2|
en rechts:
|1 2^n-1-1 |  |1 1|
|0  2^n-1  |  |0 2|
=
|1  1+ 2ⁿ-2|
|0    2ⁿ   |
=
|1  2ⁿ-1 |
|0  2ⁿ   |
en dat is wat we moesten hebben.

Je kan nu zelf de eerste eens proberen op dezelfde manier...

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 9 november 2006