WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Nulruimte

Hoi,

Ik heb een vraag over Lineaire algebra waar ik niet uit kom.
Het gaat om een afbeelding T : P3()®P3() door T(p(x)) := p(x)-P''(x)

Er word gevraagt om de nulruimte te bepalen en om aan te tonen dat de afbeelding ono-to-one is.

Met de definitie van de Nulruimte kun je zien dat p(x) = P''(x). Is het nu mogelijk om te stellen dat daarom x nul moet zijn? Dit lijkt me niet want dit bij de e-macht is klopt het wel.
Wat zie ik over het hoofd?

Alvast bedank voor de hulp.
Groet, Mannold
mannol
Student universiteit - maandag 28 augustus 2006

Antwoord

Inderdaad, voor de e^x (maar ook voor e^-x, en in het algemeen voor een lineaire combinatie van die twee, zoals hyperbolische sinus en hypcosinus) geldt dat de functie gelijk is aan de tweede afgeleide MAAR... je werkt in de ruimte P₃(): elementen hiervan zijn dus veeltermen met reële coëfficiënten van graad maximum drie. En die e-machten en dergelijke zitten daar dus niet in.

Wil je de nulruimte opstellen, druk dan uit dat een willekeurig element (bv ax³+bx²+cx+d) als beeld nul heeft. Het beeld is duidelijk ax³+bx²+cx+d-(6ax+2b) = ax³+bx²+(c-6a)x+(d-2b). Dit is de nulpolynoom als alle coëfficiënten nul zijn, dus a=0, b=0, c-6a=0 en d-2b=0, waaruit volgt dat a=b=c=d=0. Conclusie: alleen de nul zit in de kern van deze afbeelding.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 28 augustus 2006