Ik heb een vraag over Lineaire algebra waar ik niet uit kom. Het gaat om een afbeelding T : P3()®P3() door T(p(x)) := p(x)-P''(x)
Er word gevraagt om de nulruimte te bepalen en om aan te tonen dat de afbeelding ono-to-one is.
Met de definitie van de Nulruimte kun je zien dat p(x) = P''(x). Is het nu mogelijk om te stellen dat daarom x nul moet zijn? Dit lijkt me niet want dit bij de e-macht is klopt het wel. Wat zie ik over het hoofd?
Alvast bedank voor de hulp. Groet, Mannold
mannol
Student universiteit - maandag 28 augustus 2006
Antwoord
Inderdaad, voor de ex (maar ook voor e-x, en in het algemeen voor een lineaire combinatie van die twee, zoals hyperbolische sinus en hypcosinus) geldt dat de functie gelijk is aan de tweede afgeleide MAAR... je werkt in de ruimte P3(): elementen hiervan zijn dus veeltermen met reële coëfficiënten van graad maximum drie. En die e-machten en dergelijke zitten daar dus niet in.
Wil je de nulruimte opstellen, druk dan uit dat een willekeurig element (bv ax3+bx2+cx+d) als beeld nul heeft. Het beeld is duidelijk ax3+bx2+cx+d-(6ax+2b) = ax3+bx2+(c-6a)x+(d-2b). Dit is de nulpolynoom als alle coëfficiënten nul zijn, dus a=0, b=0, c-6a=0 en d-2b=0, waaruit volgt dat a=b=c=d=0. Conclusie: alleen de nul zit in de kern van deze afbeelding.
)®P3(